Determine a família de primitivas para cada função:
integral e^2 xe^2 x+1 d x

Passo 1

O enunciado pede a primitiva da função
integral e^2xe^2x+1,dx
Aqui vamos usar o método de substituição (u-substituição), pois o denominador e^2x+1 e seu diferencial aparecem naturalmente ao derivar.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = e^2x+1,
de onde
du = 2,e^2x,dx Longrightarrow e^2x,dx = du2

Passo 3

Em termos de u, a integral torna-se
integral e^2xe^2x+1,dx = integral 1u,du2 = 12integral duu
Como sabemos que integral duu = lnlvert urvert, concluímos
12integral duu = 12lnlvert urvert + C

Passo 4

Voltando à variável x, substituímos u = e^2x+1. Como e^2x+1>0, podemos omitir as barras de valor absoluto:
12lnlvert urvert + C = 12lnl(e^2x+1r) + C

Resposta

F(x) = 12lnl(e^2x+1r) + C

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