Calcule as derivadas das funções dadas nos exercícios 1 a 18.
f(x)=(x^2+1x^2)^4.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=l(x^2+1x^2r)^4
O conteúdo principal aqui é a Regra da Cadeia combinada com a Regra da Potência, além da derivada de potências de x, incluindo expoentes negativos.

Passo 2

Definimos a função interna
g(x)=x^2+1x^2=x^2+x^-2
Calculamos sua derivada usando a soma de derivadas e a regra de potência:
g'(x)=ddxl(x^2r)+ddxl(x^-2r) =2x-2x^-3

Passo 3

Aplicamos a Regra da Cadeia em
f(x)=l(g(x)r)^4
Pela Regra da Potência com cadeia,
f'(x)=4l(g(x)r)^3cdot g'(x)
Substituindo g(x) e g'(x),
f'(x) =4l(x^2+x^-2r)^3l(2x-2x^-3r) =8l(x^2+tfrac1x^2r)^3l(x-x^-3r)

Passo 4

Podemos ainda reescrever x-x^-3 como
x-x^-3=x^4-1x^3,
obtendo a forma totalmente simplificada
f'(x) =8,l(x^2+tfrac1x^2r)^3,(x^4-1)x^3

Resposta

f'(x) =8l(x^2+tfrac1x^2r)^3l(x-x^-3r) ;=;8,l(x^2+tfrac1x^2r)^3,(x^4-1)x^3

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