Encontre a transformada de Laplace da função dada, sendo a e b constantes ambas diferentes de zero. Lembre-se que cosh (x)=e^x+e^-x2 e senh(x)=e^x-e^-x2. (h) f(t)=t^n e^a t, n inteiro positivo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada de Laplace da função $ f(t) = t^{n} e^{a t} $, onde $ a $ e $ b $ são constantes diferentes de zero, e $ n $ é um número inteiro positivo. Para isso, vamos usar conhecimentos de transformadas de Laplace, principalmente a propriedade que relaciona a transformada de $ t^n e^{a t} $.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
f(t)
No nosso caso, $ f(t) = t^{n} e^{a t} $. Então, substituindo na fórmula:
Lf(t) = integral0^infty e^-s t f(t) , dt

Passo 3

Podemos simplificar a expressão dentro da integral combinando os termos exponenciais:
e^-s t e^a t = e^(a - s) t
Então, a transformada fica:
Lt^n e^a t = integral0^infty e^(a - s) t t^n , dt

Passo 4

Agora, reconhecemos que a integral $ \int_{0}^{\infty} e^{-p t} t^{n} , dt $ é uma forma conhecida que se relaciona com a função gama, onde $ p > 0 $. A integral é dada por:
integral0^infty e^-p t t^n , dt
No nosso caso, $ p = s - a $, mas precisamos ter certeza de que $ s - a > 0 $ para que a integral converja.

Passo 5

Aplicando essa fórmula à nossa situação, temos:
Lt^n e^a t = integral0^infty e^-(s - a) t t^n , dt = n!(s - a)^n+1
Observação: Essa fórmula é válida para $ s > a $, garantindo a convergência da integral.

Resposta

A transformada de Laplace da função $ f(t) = t^{n} e^{a t} $ é:
f(t) = t^n e^a t

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