Encontre a transformada de Laplace da função dada, sendo
e
constantes ambas diferentes de zero. Lembre-se que
.
inteiro positivo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a transformada de Laplace da função $ f(t) = t^{n} e^{a t} $, onde $ a $ e $ b $ são constantes diferentes de zero, e $ n $ é um número inteiro positivo. Para isso, vamos usar conhecimentos de transformadas de Laplace, principalmente a propriedade que relaciona a transformada de $ t^n e^{a t} $.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função $ f(t) $ é dada por:
No nosso caso, $ f(t) = t^{n} e^{a t} $. Então, substituindo na fórmula:
Passo 3
Podemos simplificar a expressão dentro da integral combinando os termos exponenciais:
Então, a transformada fica:
Passo 4
Agora, reconhecemos que a integral $ \int_{0}^{\infty} e^{-p t} t^{n} , dt $ é uma forma conhecida que se relaciona com a função gama, onde $ p > 0 $. A integral é dada por:
No nosso caso, $ p = s - a $, mas precisamos ter certeza de que $ s - a > 0 $ para que a integral converja.
Passo 5
Aplicando essa fórmula à nossa situação, temos:
Observação: Essa fórmula é válida para $ s > a $, garantindo a convergência da integral.
Resposta
A transformada de Laplace da função $ f(t) = t^{n} e^{a t} $ é: