Calcule as derivadas das funções dadas nos exercícios 1 a 18.
f(t)=(t^2-1t^2+1)^3 / 2.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(t)=gl(t^2-1t^2+1gr)^3/2
O conteúdo principal aqui é a regra da cadeia aplicada a uma função composta de um quociente elevado a um expoente. Para resolver vamos identificar uma função interna u(t) e aplicar primeiro a derivada do expoente e depois a derivada do quociente.

Passo 2

Definimos
u(t)=t^2-1t^2+1,
de modo que
f(t)=l(u(t)r)^3/2
Pela regra da cadeia,
f'(t)=32,l(u(t)r)^1/2,u'(t)

Passo 3

Agora vamos achar u'(t). Como
u(t)=N(t)D(t), N(t)=t^2-1, D(t)=t^2+1,
pela regra do quociente
u'(t) =N'(t),D(t)-N(t),D'(t)l(D(t)r)^2 =(2t)(t^2+1)-(t^2-1)(2t)(t^2+1)^2
No numerador temos
2t,(t^2+1)-2t,(t^2-1) =2t,t^2+2t-2t,t^2+2t =4t,
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u'(t)=4t(t^2+1)^2

Passo 4

Substituindo u'(t) em f'(t):
f'(t) =32,l(u(t)r)^1/2,4t(t^2+1)^2 = 3cdot4t2,(t^2+1)^2, raizu(t)
Como raizu(t)=raizt^2-1t^2+1=raizt^2-1raizt^2+1, temos
f'(t) =6t(t^2+1)^2;raizt^2-1raizt^2+1 =6t,raizt^2-1(t^2+1)^5/2

Resposta

f'(t)=6t,raizt^2-1(t^2+1)^5/2

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