Calcule as derivadas das funções dadas nos Exercícios 1 a 18.
f(x)=x^2 raizx^2+1.

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=x^2raizx^2+1
O conteúdo que vamos usar é a regra do produto e a regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Definimos
u(x)=x^2, v(x)=(x^2+1)^tfrac12,
de modo que f(x)=u(x),v(x).

Passo 3

Calculamos as derivadas de u e v:
u'(x)=2x,
v'(x)=12,(x^2+1)^-tfrac12cdot 2x = x,(x^2+1)^-tfrac12

Passo 4

Aplicamos a regra do produto:
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)

Passo 5

Substituindo u, u', v e v':
f'(x) =2x,(x^2+1)^tfrac12 + x^2,l[x,(x^2+1)^-tfrac12r] = 2x,(x^2+1)^tfrac12 + x^3,(x^2+1)^-tfrac12

Passo 6

Fatoramos x,(x^2+1)^-tfrac12:
f'(x) = x,(x^2+1)^-tfrac12l[2(x^2+1)+x^2r] = x,(x^2+1)^-tfrac12(3x^2+2)

Resposta

f'(x)=x,(3x^2+2)raizx^2+1

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