Questão 4. Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO COEFICIENTES A DETERMINAR.
y^prime prime+3 y=-48 t^2 e^3 t

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem
y'' + 3y = -48,t^2 e^3t
e pede a solução geral usando o método de coeficientes a determinar. Vamos primeiro achar a solução da homogênea e depois uma particular adequada ao termo forçado -48,t^2 e^3t.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y'' + 3y = 0
A equação característica é
r^2 + 3 = 0 Longrightarrow r = pm iraiz3
Logo a solução homogênea é
yh = C1cosl(raiz3,tr) + C2sinl(raiz3,tr)

Passo 3

Para a solução particular yp notamos que o termo forçado é um polinômio de grau 2 vezes e^3t e que 3 não é raiz da característica, então tomamos o ansatz
yp = e^3t(A,t^2 + B,t + C)
Calculamos as derivadas:
yp' = e^3tl(3(A,t^2+B,t+C) + (2A,t + B)r),
yp'' = e^3tl(9(A,t^2+B,t+C) + 6(2A,t + B) + 2Ar)

Passo 4

Substituindo em y''+3y obtemos
yp'' + 3yp = e^3tl(9P + 6P' + 2A + 3Pr) = e^3tl(12P + 6P' + 2Ar),
onde P(t)=A,t^2+B,t+C e P'(t)=2A,t+B. Expandindo,
12P + 6P' + 2A =12A,t^2 + (12B+12A),t + (12C+6B+2A)
Igualando ao lado direito -48,t^2 e^3t e cancelando e^3t, vem o sistema
12A = -48, 12B+12A = 0, 12C+6B+2A = 0
Resolvendo:
A = -4, 12B -48 = 0;Rightarrow;B=4, 12C + 6cdot4 + 2(-4) =0;Rightarrow;12C+16=0;Rightarrow;C = -tfrac43

Passo 5

Portanto a solução particular é
yp = e^3tl(-4t^2 + 4t - tfrac43r),
e a solução geral da equação original é
y(t) = yh + yp = C1cosl(raiz3,tr) + C2sinl(raiz3,tr) + e^3tl(-4t^2 + 4t - tfrac43r)

Resposta

y(t) = C1cosl(raiz3,tr) + C2sinl(raiz3,tr) + e^3tl(-4t^2 + 4t - tfrac43r)

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