Questão 4. Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO COEFICIENTES A DETERMINAR.
y^prime prime+2 y^prime+5 y=e^t cos 2 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''+2y'+5y=e^tcos2t
usando o método dos coeficientes a determinar. Vamos precisar encontrar primeiro a solução geral da homogênea e depois um particular pelo “chute” da forma adequada.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos a equação característica
r^2+2r+5=0
As raízes são
r=-1pm2i,
logo a solução geral homogênea é
yh(t)=e^-tl(C1cos2t +C2sin2tr)

Passo 3

Para o particular usamos um “chute” inspirado no lado direito e^tcos2t. Como não há repetição com as raízes da homogênea, propomos
yp(t)=e^tl(Acos2t +Bsin2tr),
onde A e B são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp'=e^tl[(A+2B)cos2t+(B-2A)sin2tr],
yp''=e^tl[(A+2B+2(B-2A))cos2t;+;(B-2A-2(A+2B))sin2tr]
Simplificando os coeficientes, obtemos
yp''=e^tl[(-3A+4B)cos2t+(-4A-3B)sin2tr]

Passo 5

Agora montamos yp''+2yp'+5yp e agrupamos em cos2t e sin2t:
yp''+2yp'+5yp =e^tl((4A+8B)cos2t+(-8A+4B)sin2tr)
Isso deve igualar e^tcos2t, ou seja,
(4A+8B)cos2t+(-8A+4B)sin2t =1cdotcos2t+0cdotsin2t

Passo 6

Igualando coeficientes, vem o sistema
4A+8B=1, -8A+4B=0
Da segunda equação B=2A. Substituindo na primeira achamos 20A=1, ou seja A=tfrac120 e B=tfrac110.

Passo 7

Com A e B encontrados, o particular é
yp(t)=e^tl(tfrac120cos2t+tfrac110sin2tr)
Assim a solução geral da equação é
y(t)=yh(t)+yp(t) =C1e^-tcos2t +C2e^-tsin2t +e^tl(tfrac120cos2t+tfrac110sin2tr)

Resposta

y(t)=C1e^-tcos2t +C2e^-tsin2t +e^t(120cos2t+110sin2t)

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