Questão 4. Ache a solução geral UTILIZANDO O MÉTODO COEFICIENTES A DETERMINAR.
y^prime prime+y=2 sin t

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + y = 2sin t
usando o método de coeficientes a determinar. Vamos primeiro achar a solução homogênea e depois uma particular.

Passo 2

A parte homogênea é
y'' + y = 0
A equação característica é lambda^2 + 1 = 0, cujas raízes são lambda = pm i. Logo a solução geral da homogênea é
yh = C1cos t + C2sin t

Passo 3

Para a solução particular, como o termo não homogêneo é 2sin t e sin t e cos t já aparecem em yh, usamos a forma
yp = tl(Acos t + Bsin tr)

Passo 4

Calculamos as derivadas de yp:
yp = A tcos t + B tsin t,
yp' = Acos t - A tsin t + Bsin t + B tcos t,
yp'' = -2Asin t - A tcos t + 2Bcos t - B tsin t
Somando yp'' + yp os termos em t se cancelam e sobra
yp'' + yp = -2Asin t + 2Bcos t
Igualando a 2sin t dá o sistema
-2A = 2, 2B = 0
logo
A = -1, B = 0

Passo 5

Substituindo em yp obtemos
yp = -tcos t
Portanto a solução geral é
y = yh + yp = C1cos t + C2sin t - tcos t

Resposta

y(t) = C1cos t + C2sin t - tcos t

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