Encontre um fator integrante para a equação
e, depois, resolva a equação.
14. y^prime=(t^2+y^2)^3 / 2

Passo 1

Escrevemos a equação na forma diferencial
dydt=l(t^2+y^2r)^3/2 Long<=ftrightarrow -(t^2+y^2)^3/2,dt+1cdot dy=0
Aqui M(t,y)=-(t^2+y^2)^3/2 e N(t,y)=1. Para usar fator integrante precisamos tornar exata a forma
M,dt+N,dy=0

Passo 2

Testamos exatidão:
partial Mpartial y =-3y,(t^2+y^2)^1/2, partial Npartial t=0,
portanto partial M/partial yneqpartial N/partial t; a forma não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante mu(t) ou mu(y):
  • Se mu=mu(t), verifica-se que l(partial(mu M)/partial y-partial(mu N)/partial tr) depende de y, não apenas de t.
  • Se mu=mu(y), verifica-se que l(partial(mu N)/partial t-partial(mu M)/partial yr)/(mu M) não fica função só de y.
Também não existe mu do tipo (t^2+y^2)^alpha que anule a discrepância.

Passo 4

Concluímos que não há fator integrante que torne a equação exata, e que ela não é separável nem linear nem de forma homogênea de grau zero. Portanto não se resolve por métodos elementares de fator integrante.

Resposta

A equação não admite fator integrante e não pode ser resolvida por esse método.

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