Calcule as derivadas das funções dadas.
y=tan raizxx+1.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos a derivada de
y = tan!l(raizxx+1r)
Aqui vamos usar a regra da cadeia para derivar a tangente e a regra do quociente para derivar
u(x)=raizxx+1

Passo 2

Definindo u(x)=dfracraizxx+1, aplicamos a regra do quociente. Seja f(x)=raizx=x^1/2 e g(x)=x+1. Temos
f'(x)=12raizx, g'(x)=1
Pela regra do quociente,
u'(x) =f'(x),g(x)-f(x),g'(x)[g(x)]^2 =12raizx,(x+1)-raizxcdot1(x+1)^2 =(x+1)-2x2raizx,(x+1)^2 =1-x2raizx,(x+1)^2

Passo 3

Agora aplicamos a regra da cadeia em y=tan(u(x)). Como ddutan(u)=sec^2(u), segue
y' = sec^2l(u(x)r),u'(x)

Passo 4

Substituindo u(x)=raizxx+1 e u'(x)=1-x2raizx(x+1)^2, obtemos
y' = sec^2!l(raizxx+1r),1-x2raizx,(x+1)^2

Resposta

y' = sec^2!l(raizxx+1r),1-x2raizx,(x+1)^2

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