Calcule as derivadas das funções.
f(x)=e^{\operatorname{sen}(4 x)}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=e^{\operatorname{sen}(4x)}.
Aqui vamos usar a regra da cadeia em duas etapas: primeiro para a composição da exponencial com u(x)=\operatorname{sen}(4x), depois para a derivada de \operatorname{sen}(4x), que também é uma função composta com v(x)=4x.

Passo 2

Aplicando a regra da cadeia à exponencial, temos
f'(x) = \bigl(e^{u(x)}\bigr)'\Big\lvert_{u(x)=\operatorname{sen}(4x)} = e^{\operatorname{sen}(4x)}\cdot u'(x).
Agora calculamos u'(x) para u(x)=\operatorname{sen}(4x). Mais uma vez, pela cadeia,
u'(x) = \bigl(\operatorname{sen}(v(x))\bigr)'\Big\lvert_{v(x)=4x} = \cos(v(x))\cdot v'(x) = \cos(4x)\cdot 4.

Passo 3

Substituindo u'(x)=4\cos(4x) em f'(x), obtemos
f'(x) = e^{\operatorname{sen}(4x)}\cdot\bigl(4\cos(4x)\bigr) = 4\cos(4x)\,e^{\operatorname{sen}(4x)}.

Resposta

f'(x)=4\cos(4x)\,e^{\operatorname{sen}(4x)}.

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