Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
\frac{d y}{d x}=\frac{x y+2 y-x-2}{x y-3 y+x-3}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e pede que ela seja resolvida (por separação de variáveis):
\frac{d y}{d x}=\frac{x y+2 y-x-2}{x y-3 y+x-3}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A incógnita é a função y(x).
  • A equação é uma equação de primeira ordem expressa por uma razão de polinômios em x e y.
  • Deve-se encontrar a solução geral (integral) — implícita ou explícita — e observar soluções especiais que possam surgir (por exemplo, soluções constantes que a separação pode “perder”).

Passo 2

Simplificar a razão do lado direito fatorando numerador e denominador para ver se a equação separa melhor. Trabalhando com o numerador:
x y+2 y-x-2 = y(x+2)-(x+2)=(x+2)(y-1).
Trabalhando com o denominador:
x y-3 y+x-3 = y(x-3)+(x-3)=(x-3)(y+1).
Portanto a equação fica
\frac{d y}{d x}=\frac{(x+2)(y-1)}{(x-3)(y+1)}.
Observações importantes antes de separar:
  • A expressão não está definida quando x=3 (denominador nulo) ou quando y=-1 (também zera o fator do denominador). Isso indica restrições de domínio das soluções.
  • Se y=1, o numerador zera; isso sugere que y\equiv1 pode ser uma solução constante (devemos checar isso separadamente, pois ao separar podemos dividir por y-1 e perder essa solução).

Passo 3

Agora reorganizamos para separar as variáveis (colocar termos em y com dy e termos em x com dx). A equação
\frac{d y}{d x}=\frac{(x+2)(y-1)}{(x-3)(y+1)}
pode ser escrita como
\frac{y+1}{y-1}\,dy=\frac{x+2}{x-3}\,dx,
multiplicando ambos os lados por \dfrac{y+1}{y-1}\,dx e por \dfrac{dx}{dx} de maneira formal. Note que aqui dividimos por y-1; por isso é preciso recordar a possível solução y\equiv1 (já mencionada).

Passo 4

Integramos ambos os lados. Antes de integrar, é útil decompor as frações:
\frac{y+1}{y-1}=1+\frac{2}{y-1}, \qquad \frac{x+2}{x-3}=1+\frac{5}{x-3},
porque y+1=(y-1)+2 e x+2=(x-3)+5. Portanto as integrais ficam simples:
\int\frac{y+1}{y-1}\,dy=\int\left(1+\frac{2}{y-1}\right)dy = \int 1\,dy + 2\int\frac{1}{y-1}\,dy = y + 2\ln|y-1|.
\int\frac{x+2}{x-3}\,dx=\int\left(1+\frac{5}{x-3}\right)dx = \int 1\,dx + 5\int\frac{1}{x-3}\,dx = x + 5\ln|x-3|.
Ao integrar ambos os lados obtemos (adicionando uma constante de integração C):
y + 2\ln|y-1| = x + 5\ln|x-3| + C.

Passo 5

Interpretação final e soluções especiais:
  • A solução geral, em forma implícita, é
y + 2\ln|y-1| = x + 5\ln|x-3| + C,
onde C é uma constante arbitrária e o domínio das soluções deve evitar x=3 e pontos onde o lado logarítmico fica indefinido conforme a situação particular (por isso usa-se valor absoluto nas logaritmos).
  • Solução constante possivelmente perdida pela separação: y\equiv1. Verificação rápida: se y=1 então o numerador original é zero e o denominador é (x-3)(1+1)=2(x-3) (não nulo para x\neq3); assim \dfrac{dy}{dx}=0 e y\equiv1 é de fato uma solução válida (exceto no ponto x=3, onde a equação original não está definida). A solução y\equiv-1 não é solução válida pois anula o denominador e normalmente não satisfaz a equação (só poderia ser se o numerador também anulasse para todo x, o que não ocorre).
  • Não é fácil isolar y em função de x de forma elementar a partir da relação implícita acima; a forma implícita é a resposta adequada para a solução geral.

Resposta

y + 2\ln|y-1| = x + 5\ln|x-3| + C
y\equiv 1

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