Resolva, por separação de variáveis, as equações diferenciais dadas.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e pede que ela seja resolvida (por separação de variáveis):
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A incógnita é a função
. - A equação é uma equação de primeira ordem expressa por uma razão de polinômios em
e . - Deve-se encontrar a solução geral (integral) — implícita ou explícita — e observar soluções especiais que possam surgir (por exemplo, soluções constantes que a separação pode “perder”).
Passo 2
Simplificar a razão do lado direito fatorando numerador e denominador para ver se a equação separa melhor. Trabalhando com o numerador:
Trabalhando com o denominador:
Portanto a equação fica
Observações importantes antes de separar:
- A expressão não está definida quando
(denominador nulo) ou quando (também zera o fator do denominador). Isso indica restrições de domínio das soluções. - Se
, o numerador zera; isso sugere que pode ser uma solução constante (devemos checar isso separadamente, pois ao separar podemos dividir por e perder essa solução).
Passo 3
Agora reorganizamos para separar as variáveis (colocar termos em
com
e termos em
com
). A equação
pode ser escrita como
multiplicando ambos os lados por
e por
de maneira formal. Note que aqui dividimos por
; por isso é preciso recordar a possível solução
(já mencionada).
Passo 4
Integramos ambos os lados. Antes de integrar, é útil decompor as frações:
porque
e
. Portanto as integrais ficam simples:
Ao integrar ambos os lados obtemos (adicionando uma constante de integração
):
Passo 5
Interpretação final e soluções especiais:
- A solução geral, em forma implícita, é
onde
é uma constante arbitrária e o domínio das soluções deve evitar
e pontos onde o lado logarítmico fica indefinido conforme a situação particular (por isso usa-se valor absoluto nas logaritmos).
- Solução constante possivelmente perdida pela separação:
. Verificação rápida: se então o numerador original é zero e o denominador é (não nulo para ); assim e é de fato uma solução válida (exceto no ponto , onde a equação original não está definida). A solução não é solução válida pois anula o denominador e normalmente não satisfaz a equação (só poderia ser se o numerador também anulasse para todo , o que não ocorre). - Não é fácil isolar
em função de de forma elementar a partir da relação implícita acima; a forma implícita é a resposta adequada para a solução geral.