Calcule as derivadas das funções.
f(x)=\frac{1-e^{2 x}}{1+e^{2 x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{1-e^{2x}}{1+e^{2x}}.
O conteúdo que vamos usar é a regra do quociente para derivadas e a regra da cadeia para exponenciais.

Passo 2

Definimos o numerador e o denominador separadamente:
N(x)=1-e^{2x},\quad D(x)=1+e^{2x}.
Pela regra do quociente,
f'(x) =\frac{D(x)\,N'(x)\;-\;N(x)\,D'(x)}{[D(x)]^2}.

Passo 3

Calculamos as derivadas de N(x) e D(x) usando a regra da cadeia:
N'(x)=\frac{d}{dx}(1-e^{2x})=-2e^{2x},
D'(x)=\frac{d}{dx}(1+e^{2x})=2e^{2x}.

Passo 4

Substituindo N'(x) e D'(x) na fórmula de f'(x) e simplificando os termos do numerador:
f'(x) =\frac{(1+e^{2x})(-2e^{2x})-(1-e^{2x})(2e^{2x})}{(1+e^{2x})^2} =\frac{-2e^{2x}-2e^{4x}-2e^{2x}+2e^{4x}}{(1+e^{2x})^2} =\frac{-4e^{2x}}{(1+e^{2x})^2}.

Resposta

f'(x)=-\frac{4e^{2x}}{(1+e^{2x})^2}.

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