Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada, aplicando o método de separação de variáveis.
\left(e^{-y}+1\right) \operatorname{sen} \boldsymbol{x} \boldsymbol{d} \boldsymbol{x}=(1+\cos \boldsymbol{x}) \boldsymbol{d} \boldsymbol{y} ; \boldsymbol{y}(0)=\mathbf{0}

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por separação de variáveis, a equação diferencial
\bigl(e^{-y}+1\bigr)\,\sin x\,dx = \bigl(1+\cos x\bigr)\,dy
sujeita à condição inicial y(0)=0.

Passo 2

Separamos as variáveis levando os termos em y para um lado e em x para o outro:
\frac{dy}{e^{-y}+1} \;=\;\frac{\sin x}{1+\cos x}\,dx.

Passo 3

Agora integramos cada lado. À esquerda note que
\frac{1}{e^{-y}+1} \;=\;\frac{e^y}{1+e^y},
então, com t=1+e^y, dt=e^y\,dy, vem
\int \frac{dy}{e^{-y}+1} =\int \frac{e^y}{1+e^y}\,dy =\int \frac{dt}{t} =\ln\bigl(1+e^y\bigr).
À direita use u=1+\cos x, du=-\sin x\,dx, obtendo
\int \frac{\sin x}{1+\cos x}\,dx =-\int \frac{du}{u} =-\ln\bigl(1+\cos x\bigr).
Portanto
\ln\bigl(1+e^y\bigr) =-\ln\bigl(1+\cos x\bigr)+C.

Passo 4

Somando \ln(1+\cos x) em ambos os lados:
\ln\!\bigl[(1+e^y)(1+\cos x)\bigr]=C
e exponentiando dá-se a forma implícita
(1+e^y)(1+\cos x)=A,
onde A=e^C.

Passo 5

Aplicando y(0)=0:
1+e^0=2, \quad 1+\cos0=2 \;\Longrightarrow\; A=2\cdot2=4.
Logo a relação implícita é
(1+e^y)(1+\cos x)=4.

Passo 6

Isolando y:
1+e^y=\frac{4}{1+\cos x} \;\Longrightarrow\; e^y=\frac{4}{1+\cos x}-1 =\frac{3-\cos x}{1+\cos x} \;\Longrightarrow\; y=\ln\!\Bigl(\frac{3-\cos x}{1+\cos x}\Bigr).

Resposta

y(x)=\ln\!\Bigl(\tfrac{3-\cos x}{1+\cos x}\Bigr).

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