Resolva a equação diferencial dada sujeita à condição inicial indicada, aplicando o método de separação de variáveis.
\boldsymbol{y} \boldsymbol{d} \boldsymbol{y}=4 \boldsymbol{x}\left(\boldsymbol{y}^{2}+1\right)^{\mathbf{1} / \mathbf{2}} \boldsymbol{d} \boldsymbol{x} ; \boldsymbol{y}(0)=\mathbf{1}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y\,dy = 4x\sqrt{y^2+1}\,dx
com a condição inicial y(0)=1, usando o método de separação de variáveis.

Passo 2

Vamos separar as variáveis colocando todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro. Dividindo por \sqrt{y^2+1} e por dx, obtemos
\frac{y}{\sqrt{y^2+1}}\,dy = 4x\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados. Para o lado esquerdo, use a substituição u = y^2+1, de modo que du = 2y\,dy. Assim,
\int \frac{y}{\sqrt{y^2+1}}\,dy = \int \frac{1}{2}\frac{du}{\sqrt{u}} = \sqrt{u} = \sqrt{y^2+1}.
No lado direito,
\int 4x\,dx = 2x^2 + C.
Logo a integral geral é
\sqrt{y^2+1} = 2x^2 + C.

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0)=1. Substituindo x=0 e y=1 em \sqrt{y^2+1}=2x^2+C, vem
\sqrt{1^2+1} = C \;\Longrightarrow\; \sqrt{2} = C.
Portanto a solução implícita é
\sqrt{y^2+1} = 2x^2 + \sqrt{2}.

Passo 5

Elevando ao quadrado e isolando y,
y^2 + 1 = \bigl(2x^2 + \sqrt{2}\bigr)^2 \quad\Longrightarrow\quad y^2 = \bigl(2x^2 + \sqrt{2}\bigr)^2 - 1.
Como y(0)=1>0, escolhemos o ramo positivo:
y = \sqrt{\bigl(2x^2 + \sqrt{2}\bigr)^2 - 1}.

Resposta

y(x) = \sqrt{\bigl(2x^2 + \sqrt{2}\bigr)^2 - 1}.

Exercícios relacionados