Calcule a derivadas das funções:
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a derivada da função
Informações dadas:
- A integranda é
, que depende apenas de . - O limite inferior da integral é
. - O limite superior da integral é
. - Quero encontrar
, a derivada de em relação a .
Passo 2
Ferramenta principal (explicada de forma didática): Regra de Leibniz para derivar integrais com limites que dependem de
.
Se eu tenho
então a regra diz
O que isso significa, em palavras simples:
- Avalia-se a função integranda
nos limites que dependem de . - Multiplica-se cada avaliação pela derivada do respectivo limite (cadeia).
- Subtrai-se a contribuição do limite inferior (por isso o sinal negativo).
Essa fórmula é uma combinação do Teorema Fundamental do Cálculo (que nos diz que a derivada da integral com limite superioré a integranda avaliada em ) com a regra da cadeia (porque os limites são funções de ).
Passo 3
Vou aplicar a regra de Leibniz ao caso
com
Calculo primeiro as derivadas dos limites:
Passo 4
Agora aplico diretamente a fórmula:
Substituindo
,
,
e
:
Escrevendo de forma clara:
Passo 5
Podemos simplificar usando uma propriedade da função
: ela é ímpar, isto é,
Isso é verdade porque a tangente é função ímpar e a inversa herda essa propriedade na sua definição principal.
Aplicando isso com
:
Substituindo na expressão de
:
Passo 6
Verificação alternativa (curta, só para segurança): definir uma primitiva
de
e usar a fórmula
, então derivar com a regra da cadeia. Uma primitiva conveniente é
porque
Então
e ao derivar:
que, usando a ímparidade de
, volta à mesma resposta
Isso confirma que a aplicação direta da regra de Leibniz estava correta.
Passo 7
Dica rápida para prova: ao ver uma integral com limites que dependem de
, aplique imediatamente a fórmula de Leibniz. Não é necessário calcular primitivas; basta avaliar a integranda nos limites e multiplicar pelas derivadas dos limites. Se a integranda for par/ímpar ou tiver outras simetrias, use isso para simplificar como fiz acima.