Calcule a derivadas das funções:
g(x)=\int_{-2 x}^{3 x+2} \operatorname{arctg}(t) d t

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a derivada da função
g(x)=\int_{-2x}^{\,3x+2}\operatorname{arctg}(t)\,dt.
Informações dadas:
  • A integranda é \operatorname{arctg}(t), que depende apenas de t.
  • O limite inferior da integral é a(x)=-2x.
  • O limite superior da integral é b(x)=3x+2.
  • Quero encontrar g'(x), a derivada de g em relação a x.

Passo 2

Ferramenta principal (explicada de forma didática): Regra de Leibniz para derivar integrais com limites que dependem de x.
Se eu tenho
G(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f(t)\,dt,
então a regra diz
G'(x)=f\bigl(b(x)\bigr)\,b'(x)-f\bigl(a(x)\bigr)\,a'(x).
O que isso significa, em palavras simples:
  • Avalia-se a função integranda f nos limites que dependem de x.
  • Multiplica-se cada avaliação pela derivada do respectivo limite (cadeia).
  • Subtrai-se a contribuição do limite inferior (por isso o sinal negativo).
    Essa fórmula é uma combinação do Teorema Fundamental do Cálculo (que nos diz que a derivada da integral com limite superior x é a integranda avaliada em x) com a regra da cadeia (porque os limites são funções de x).

Passo 3

Vou aplicar a regra de Leibniz ao caso g(x)=\int_{a(x)}^{b(x)}\operatorname{arctg}(t)\,dt com
a(x)=-2x,\qquad b(x)=3x+2,\qquad f(t)=\operatorname{arctg}(t).
Calculo primeiro as derivadas dos limites:
a'(x)=\frac{d}{dx}(-2x)=-2, \qquad b'(x)=\frac{d}{dx}(3x+2)=3.

Passo 4

Agora aplico diretamente a fórmula:
g'(x)=\operatorname{arctg}\bigl(b(x)\bigr)\,b'(x)-\operatorname{arctg}\bigl(a(x)\bigr)\,a'(x).
Substituindo a(x), b(x), a'(x) e b'(x):
g'(x)=\operatorname{arctg}(3x+2)\cdot 3 \;-\; \operatorname{arctg}(-2x)\cdot(-2).
Escrevendo de forma clara:
g'(x)=3\,\operatorname{arctg}(3x+2)+2\,\operatorname{arctg}(-2x).

Passo 5

Podemos simplificar usando uma propriedade da função \operatorname{arctg}: ela é ímpar, isto é,
\operatorname{arctg}(-u)=-\operatorname{arctg}(u)\quad\text{para todo }u.
Isso é verdade porque a tangente é função ímpar e a inversa herda essa propriedade na sua definição principal.
Aplicando isso com u=2x:
\operatorname{arctg}(-2x)=-\operatorname{arctg}(2x).
Substituindo na expressão de g'(x):
g'(x)=3\,\operatorname{arctg}(3x+2)+2\bigl(-\operatorname{arctg}(2x)\bigr) =3\,\operatorname{arctg}(3x+2)-2\,\operatorname{arctg}(2x).

Passo 6

Verificação alternativa (curta, só para segurança): definir uma primitiva F(t) de \operatorname{arctg}(t) e usar a fórmula g(x)=F(b(x))-F(a(x)), então derivar com a regra da cadeia. Uma primitiva conveniente é
F(t)=t\,\operatorname{arctg}(t)-\tfrac{1}{2}\ln\bigl(1+t^{2}\bigr),
porque
F'(t)=\operatorname{arctg}(t)+t\cdot\frac{1}{1+t^{2}}-\frac{1}{2}\cdot\frac{2t}{1+t^{2}}=\operatorname{arctg}(t).
Então
g(x)=F(3x+2)-F(-2x),
e ao derivar:
g'(x)=F'(3x+2)\cdot 3 - F'(-2x)\cdot(-2) =3\,\operatorname{arctg}(3x+2)+2\,\operatorname{arctg}(-2x),
que, usando a ímparidade de \operatorname{arctg}, volta à mesma resposta
g'(x)=3\,\operatorname{arctg}(3x+2)-2\,\operatorname{arctg}(2x).
Isso confirma que a aplicação direta da regra de Leibniz estava correta.

Passo 7

Dica rápida para prova: ao ver uma integral com limites que dependem de x, aplique imediatamente a fórmula de Leibniz. Não é necessário calcular primitivas; basta avaliar a integranda nos limites e multiplicar pelas derivadas dos limites. Se a integranda for par/ímpar ou tiver outras simetrias, use isso para simplificar como fiz acima.

Resposta

g'(x)=3\,\operatorname{arctg}(3x+2)-2\,\operatorname{arctg}(2x)

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