Calcule a derivadas das funções: f(x)=\int_{2}^{x} t^{3 / 2} d t
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x)=\int_{2}^{x} t^{3/2}\,dt
e pede para calcular a derivada f'(x). Informações relevantes que temos:
O integrando é t^{3/2}.
O limite inferior da integral é constante 2 e o superior é a própria variável x.
Precisamos lembrar que t^{3/2} está bem definida e é contínua para t\ge0. Como o limite inferior é 2>0, a integral está definida (em valores reais) sempre que x\ge0. Para x<0 a integral envolveria valores de t<0 onde t^{3/2} não é real usando a potência principal, então só consideraremos x\ge0.
Passo 2
Apresentando a ferramenta principal: o Teorema Fundamental do Cálculo (versão simples e prática).
Seja G(x)=\int_{a}^{x} g(t)\,dt com g contínua num intervalo que contém a e x. Então
G'(x)=g(x).
Explicando em palavras: a derivada da integral cujo limite superior é x é simplesmente o integrando avaliado em x, desde que o integrando seja contínuo no intervalo. Isso é muito útil na prova porque evita ter que calcular a integral antes de derivar.
Passo 3
Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo ao nosso caso:
o integrando g(t)=t^{3/2} é contínuo para t\ge0. Como o limite inferior é 2 (positivo), para qualquer x\ge0 vale a hipótese do teorema. Logo,
f'(x)=x^{3/2},\qquad \text{para } x\ge0.
Passo 4
Para reforçar a ideia, faço o método alternativo (calcular a primitiva e depois derivar), que confirma o resultado.
Regra de potência para integrar: para n\neq-1,
Isso confirma o resultado obtido pelo Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 6
Resumo e observação final: a derivada existe e é x^{3/2} sempre que a integral for bem definida (considerando potências reais, isto é, para x\ge0). Boa! Você já tem a técnica: sempre que a integral for do tipo \int_{a}^{x} g(t)\,dt com g contínua, a derivada é só g(x). Isso salva muito tempo na prova.