Calcule a derivadas das funções:
f(x)=\int_{2}^{x} t^{3 / 2} d t

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\int_{2}^{x} t^{3/2}\,dt
e pede para calcular a derivada f'(x). Informações relevantes que temos:
  • O integrando é t^{3/2}.
  • O limite inferior da integral é constante 2 e o superior é a própria variável x.
  • Precisamos lembrar que t^{3/2} está bem definida e é contínua para t\ge0. Como o limite inferior é 2>0, a integral está definida (em valores reais) sempre que x\ge0. Para x<0 a integral envolveria valores de t<0 onde t^{3/2} não é real usando a potência principal, então só consideraremos x\ge0.

Passo 2

Apresentando a ferramenta principal: o Teorema Fundamental do Cálculo (versão simples e prática).
Seja G(x)=\int_{a}^{x} g(t)\,dt com g contínua num intervalo que contém a e x. Então
G'(x)=g(x).
Explicando em palavras: a derivada da integral cujo limite superior é x é simplesmente o integrando avaliado em x, desde que o integrando seja contínuo no intervalo. Isso é muito útil na prova porque evita ter que calcular a integral antes de derivar.

Passo 3

Aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo ao nosso caso:
o integrando g(t)=t^{3/2} é contínuo para t\ge0. Como o limite inferior é 2 (positivo), para qualquer x\ge0 vale a hipótese do teorema. Logo,
f'(x)=x^{3/2},\qquad \text{para } x\ge0.

Passo 4

Para reforçar a ideia, faço o método alternativo (calcular a primitiva e depois derivar), que confirma o resultado.
Regra de potência para integrar: para n\neq-1,
\int t^{n}\,dt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=\tfrac{3}{2}, então n+1=\tfrac{5}{2} e
\int t^{3/2}\,dt=\frac{t^{5/2}}{5/2}+C=\frac{2}{5}\,t^{5/2}+C.

Passo 5

Usando a primitiva para escrever f(x):
f(x)=\left.\frac{2}{5}t^{5/2}\right|_{t=2}^{t=x}=\frac{2}{5}x^{5/2}-\frac{2}{5}\,2^{5/2}.
Agora derivando termo a termo:
  • A derivada do termo constante -\dfrac{2}{5}2^{5/2} é 0.
  • A derivada de \dfrac{2}{5}x^{5/2} usa a regra da potência: \dfrac{d}{dx}x^{5/2}=\dfrac{5}{2}x^{3/2}. Portanto
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{2}{5}x^{5/2}\right)=\frac{2}{5}\cdot\frac{5}{2}x^{3/2}=x^{3/2}.
Isso confirma o resultado obtido pelo Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 6

Resumo e observação final: a derivada existe e é x^{3/2} sempre que a integral for bem definida (considerando potências reais, isto é, para x\ge0). Boa! Você já tem a técnica: sempre que a integral for do tipo \int_{a}^{x} g(t)\,dt com g contínua, a derivada é só g(x). Isso salva muito tempo na prova.

Resposta

f'(x)=x^{3/2}

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