Nos problemas 7-12, resolva a equação.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Este é um caso de equação diferencial da forma
. Vamos testar se ela é exata e, se não for, procurar um fator integrante que dependa só de
.
Passo 2
Identificamos
Calculamos as derivadas parciais
Como
, a equação não é exata.
Passo 3
Buscamos um fator integrante
. Para isso, usamos a fórmula
e verificamos se depende só de
:
Como dá
, que é função só de
, temos
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
, obtendo
onde
Agora conferimos
logo a equação é exata.
Passo 5
Buscamos uma função potencial
tal que
e
.
Integramos em relação a
:
Integramos
Passo 6
Para determinar
, calculamos
e igualamos a
. Assim
ou seja,
é constante.
Resposta
A solução implícita geral é
onde
e
são constantes de integração.