Nos problemas 7-12, resolva a equação.
(2 y^2+2 y+4 x^2) d x-(2 x y+x) d y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
l(2y^2+2y+4x^2r),dx - l(2xy+xr),dy = 0
Este é um caso de equação diferencial da forma M(x,y),dx + N(x,y),dy=0. Vamos testar se ela é exata e, se não for, procurar um fator integrante que dependa só de x.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 2y^2+2y+4x^2, N(x,y) = -l(2xy+xr) = -x(2y+1)
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y = 4y+2, partial Npartial x = -,(2y+1)
Como partial M/partial y neq partial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 3

Buscamos um fator integrante mu(x). Para isso, usamos a fórmula
partial M/partial y - partial N/partial xN
e verificamos se depende só de x:
(4y+2)-l[-(2y+1)r]-x(2y+1) = 6y+3-x(2y+1) = -3x
Como dá -3/x, que é função só de x, temos
mu(x) = exp!l(integral -3x,dxr) = x^-3

Passo 4

Multiplicamos a equação original por x^-3, obtendo
M^*(x,y),dx + N^*(x,y),dy = 0,
onde
M^* = x^-3(2y^2+2y+4x^2) = 2y^2x^-3+2y,x^-3+4x^-1,
N^* = x^-3l[-x(2y+1)r] = -(2y+1)x^-2
Agora conferimos
partial M^*partial y = 4y,x^-3+2,x^-3, partial N^*partial x = (4y+2)x^-3,
logo a equação é exata.

Passo 5

Buscamos uma função potencial Psi(x,y) tal que
Psix = M^* e Psiy = N^*.
Integramos Psix = 2y^2x^-3+2y,x^-3+4x^-1 em relação a x:
Psi(x,y) = integrall(2y^2x^-3+2y,x^-3+4x^-1r),dx = -y^2x^-2 - y,x^-2 +4ln|x| + h(y)

Passo 6

Para determinar h(y), calculamos
Psiy = -2y,x^-2-x^-2+h'(y)
e igualamos a N^* = -(2y+1)x^-2. Assim
-2y,x^-2-x^-2+h'(y) = -(2y+1)x^-2 Longrightarrow h'(y)=0
ou seja, h é constante.

Resposta

A solução implícita geral é
-y^-2x^-2-yx^-2+4ln|x| = C Long<=ftrightarrow y^2+yx^2 -4ln|x| = C',
onde C e C' são constantes de integração.

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