Calcule as derivadas das funções:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
Informações dadas e observações importantes:
Domínio implícito: como aparece
e
, temos
. A derivada só faz sentido onde a função está definida, então vamos trabalhar para
.
Passo 2
Primeiro princípio que vamos usar (muito útil em prova): a derivada de soma é a soma das derivadas. Assim basta derivar cada parcela separadamente:
Vou calcular cada uma dessas derivadas passo a passo.
Passo 3
Derivada da primeira parcela
.
É mais simples reescrever como produto:
É mais simples reescrever como produto:
Então podemos derivar
e depois multiplicar por
. Vou aplicar a regra do quociente a
com
Regra do quociente (lembre): se
então
Passo 4
Calcular
. Como
é produto, uso a regra do produto:
Regra do produto (lembre): se então
.
Aqui e
. Temos
e
. Portanto
Regra do produto (lembre): se
Aqui
Passo 5
Agora aplico a regra do quociente para
com
e
:
Substituindo
e
:
Faço a álgebra no numerador: multiplico
por
:
Então o numerador fica
Agrupando os termos com
:
Logo o numerador é
e
Como a primeira parcela era
, sua derivada é
. Portanto a derivada da primeira parcela é
Passo 6
Derivada da segunda parcela
.
Usamos a regra da cadeia: se então
.
Aqui e
. Logo
Usamos a regra da cadeia: se
Aqui
Passo 7
Derivada da constante
é zero:
Passo 8
Juntando tudo (somando as derivadas que encontramos):
Pode-se escrever de forma mais compacta como