Calcule as derivadas das funções:
f(x)=\frac{3 e^{x} \ln x}{x}+\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)+2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função
f(x)=\frac{3 e^{x} \ln x}{x}+\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)+2.
Informações dadas e observações importantes:
\text{Função: }f(x)=\frac{3 e^{x} \ln x}{x}+\sin\left(x^{2}\right)+2.çã
\text{Pedido: } f'(x).
Domínio implícito: como aparece \ln x e \frac{1}{x}, temos x>0. A derivada só faz sentido onde a função está definida, então vamos trabalhar para x>0.

Passo 2

Primeiro princípio que vamos usar (muito útil em prova): a derivada de soma é a soma das derivadas. Assim basta derivar cada parcela separadamente:
f'(x)=\left(\frac{3 e^{x} \ln x}{x}\right)'+\left(\sin\left(x^{2}\right)\right)'+(2)'.
Vou calcular cada uma dessas derivadas passo a passo.

Passo 3

Derivada da primeira parcela \displaystyle \frac{3 e^{x} \ln x}{x}.
É mais simples reescrever como produto:
\frac{3 e^{x} \ln x}{x}=3\cdot\frac{e^{x}\ln x}{x}.
Então podemos derivar h(x)=\frac{e^{x}\ln x}{x} e depois multiplicar por 3. Vou aplicar a regra do quociente a h(x)=\dfrac{N(x)}{D(x)} com
N(x)=e^{x}\ln x,\qquad D(x)=x.
Regra do quociente (lembre): se h=\dfrac{N}{D} então
h'=\frac{N' D - N D'}{D^{2}}.

Passo 4

Calcular N'(x). Como N(x)=e^{x}\ln x é produto, uso a regra do produto:
Regra do produto (lembre): se N=u\cdot v então N'=u'v+uv'.
Aqui u(x)=e^{x} e v(x)=\ln x. Temos u'(x)=e^{x} e v'(x)=\dfrac{1}{x}. Portanto
N'(x)=e^{x}\ln x + e^{x}\cdot\frac{1}{x}=e^{x}\left(\ln x+\frac{1}{x}\right).

Passo 5

Agora aplico a regra do quociente para h(x)=\dfrac{N}{D} com D(x)=x e D'(x)=1:
h'(x)=\frac{N'(x)\,x - N(x)\cdot 1}{x^{2}}.
Substituindo N'(x) e N(x):
h'(x)=\frac{e^{x}\left(\ln x+\frac{1}{x}\right)\!x - e^{x}\ln x}{x^{2}}.
Faço a álgebra no numerador: multiplico \left(\ln x+\dfrac{1}{x}\right) por x:
\left(\ln x+\frac{1}{x}\right)x = x\ln x + 1.
Então o numerador fica
e^{x}\bigl(x\ln x + 1\bigr) - e^{x}\ln x = e^{x}\bigl(x\ln x + 1 - \ln x\bigr).
Agrupando os termos com \ln x:
x\ln x - \ln x = (x-1)\ln x.
Logo o numerador é e^{x}\bigl((x-1)\ln x + 1\bigr) e
h'(x)=\frac{e^{x}\bigl((x-1)\ln x + 1\bigr)}{x^{2}}.
Como a primeira parcela era 3h(x), sua derivada é 3h'(x). Portanto a derivada da primeira parcela é
\left(\frac{3 e^{x} \ln x}{x}\right)'=3\cdot\frac{e^{x}\bigl((x-1)\ln x + 1\bigr)}{x^{2}}.

Passo 6

Derivada da segunda parcela \sin\left(x^{2}\right).
Usamos a regra da cadeia: se g(x)=\sin(u(x)) então g'(x)=\cos(u(x))\cdot u'(x).
Aqui u(x)=x^{2} e u'(x)=2x. Logo
\left(\sin\left(x^{2}\right)\right)'=\cos\left(x^{2}\right)\cdot 2x = 2x\cos\left(x^{2}\right).

Passo 7

Derivada da constante 2 é zero:
(2)'=0.

Passo 8

Juntando tudo (somando as derivadas que encontramos):
f'(x)=3\cdot\frac{e^{x}\bigl((x-1)\ln x + 1\bigr)}{x^{2}} + 2x\cos\left(x^{2}\right) + 0.
Pode-se escrever de forma mais compacta como
f'(x)=\frac{3e^{x}\bigl((x-1)\ln x + 1\bigr)}{x^{2}} + 2x\cos\left(x^{2}\right).

Resposta

f'(x)=\frac{3e^{x}\bigl((x-1)\ln x + 1\bigr)}{x^{2}} + 2x\cos\left(x^{2}\right).

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