Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \operatorname{sen} x}{1-\cos x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite:
\lim_{x\to 0} \frac{x\,\operatorname{sen}x}{1-\cos x}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função no numerador é \;x\sin x\; (escrevo \sin em notação matemática).
  • A função no denominador é \;1-\cos x\;.
  • O ponto de interesse é x\to 0.
    O que precisamos devolver: o valor numérico do limite quando x tende a 0.

Passo 2

Verificar a forma indeterminada ao substituir x=0:
\lim_{x\to 0} x\sin x = 0\cdot \sin 0 = 0,
\lim_{x\to 0} (1-\cos x) = 1-\cos 0 = 1-1 = 0.
Portanto a expressão tem a forma \frac{0}{0}, que é uma forma indeterminada. Isso justifica o uso da regra de L’Hospital (desde que as funções sejam diferenciáveis num vizinho de 0, o que é verdade aqui).

Passo 3

Enunciado (intuitivo) da regra de L’Hospital que vamos usar:
Se f e g são funções diferenciáveis em um intervalo (exceto possivelmente no ponto) e
\lim_{x\to a} f(x)=0,\qquad \lim_{x\to a} g(x)=0
ou ambas tendem a \pm\infty, e se existir
\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)},
então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.
Aqui f(x)=x\sin x e g(x)=1-\cos x. Vamos aplicar essa regra e calcular as derivadas.

Passo 4

Calcular as derivadas (mostrando passo a passo):
Derivada do numerador f(x)=x\sin x: usar a regra do produto.
Regra do produto: se u(x) e v(x) são diferenciáveis, (u v)' = u'v + uv'.
Tomando u(x)=x e v(x)=\sin x:
u'(x)=1,\qquad v'(x)=\cos x.
Logo
f'(x)=(x\sin x)' = 1\cdot\sin x + x\cdot\cos x = \sin x + x\cos x.
Derivada do denominador g(x)=1-\cos x:
g'(x)=(1-\cos x)' = 0 -(-\sin x) = \sin x.

Passo 5

Aplicando L’Hospital:
\lim_{x\to 0}\frac{x\sin x}{1-\cos x} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin x + x\cos x}{\sin x}.
Simplifico a fração dividindo em dois termos:
\frac{\sin x + x\cos x}{\sin x} = \frac{\sin x}{\sin x} + \frac{x\cos x}{\sin x} = 1 + \frac{x\cos x}{\sin x}.

Passo 6

Avaliar o segundo termo
\lim_{x\to 0}\frac{x\cos x}{\sin x}.
Reescrevo de forma útil:
\frac{x\cos x}{\sin x} = \frac{\cos x}{\frac{\sin x}{x}}.
Usamos dois limites clássicos (e fundamentais):
\lim_{x\to 0}\cos x = 1, \qquad \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x} = 1.
Portanto
\lim_{x\to 0}\frac{x\cos x}{\sin x} = \frac{1}{1} = 1.
(Observação rápida: o limite \lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1 é um resultado padrão; pode ser mostrado por séries de Taylor ou por desigualdades geométricas — aqui usamos-o como ferramenta conhecida.)

Passo 7

Voltando à expressão simplificada:
\lim_{x\to 0}\left(1 + \frac{x\cos x}{\sin x}\right) = 1 + 1 = 2.
Portanto o limite pedido é 2.

Resposta

2

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