Determinar os seguintes limites com auxílio das regras de L’Hospital:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o seguinte limite:
Informações relevantes fornecidas:
- A função no numerador é
(escrevo em notação matemática). - A função no denominador é
. - O ponto de interesse é
.
O que precisamos devolver: o valor numérico do limite quandotende a .
Passo 2
Verificar a forma indeterminada ao substituir
:
Portanto a expressão tem a forma
, que é uma forma indeterminada. Isso justifica o uso da regra de L’Hospital (desde que as funções sejam diferenciáveis num vizinho de
, o que é verdade aqui).
Passo 3
Enunciado (intuitivo) da regra de L’Hospital que vamos usar:
Se e
são funções diferenciáveis em um intervalo (exceto possivelmente no ponto) e
Se
ou ambas tendem a
, e se existir
então
Aqui
e
. Vamos aplicar essa regra e calcular as derivadas.
Passo 4
Calcular as derivadas (mostrando passo a passo):
Derivada do numerador
: usar a regra do produto.
Regra do produto: se e
são diferenciáveis,
.
Tomando e
:
Regra do produto: se
Tomando
Logo
Derivada do denominador
:
Passo 5
Aplicando L’Hospital:
Simplifico a fração dividindo em dois termos:
Passo 6
Avaliar o segundo termo
Reescrevo de forma útil:
Usamos dois limites clássicos (e fundamentais):
Portanto
(Observação rápida: o limite
é um resultado padrão; pode ser mostrado por séries de Taylor ou por desigualdades geométricas — aqui usamos-o como ferramenta conhecida.)
Passo 7
Voltando à expressão simplificada:
Portanto o limite pedido é
.