Calcule as derivadas das funções nos pontos indicados.
f(x)=2^x log 8 x, em x=2

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = 2^x ,log8 x
no ponto x=2.
Vamos usar:
  • A regra do produto: l(u,vr)' = u',v + u,v'.
  • A derivada da exponencial: l(2^xr)' = 2^xln 2.
  • A derivada do logaritmo em base a: l(loga xr)' = tfrac1xln a.
  • A mudança de base: log8 x = tfracln xln 8 e ln 8 = 3ln 2.

Passo 2

Aplicando a regra do produto:
f'(x) = l(2^xr)' ,log8 x ;+; 2^x ,l(log8 xr)'
Substituindo as derivadas conhecidas:
l(2^xr)' = 2^xln 2, l(log8 xr)' = 1xln 8
Logo,
f'(x) = 2^xln 2;log8 x ;+; 2^xxln 8

Passo 3

Usando ln 8 = 3ln2, reescrevemos
f'(x) = 2^xln 2;log8 x ;+; 2^x3xln 2

Passo 4

Agora avaliamos em x=2. Note que
log8 2 = ln 2ln 8 = ln 23ln 2 = 13
Então
f'(2) = 2^2ln 2cdot13 ;+;2^23cdot2ln 2 = 4ln 23 + 46ln 2 = 4ln 23 + 23ln 2

Resposta

f'(2) = 4ln 23 + 23ln 2

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