Calcule as derivadas das funções nos pontos indicados.
f(x)=5^xln x+5, em x=1

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=5^xln x + 5
no ponto x=1.
O conteúdo principal é a regra do quociente e a derivada de uma exponencial de base fixa.

Passo 2

Vamos definir
u(x)=5^x, v(x)=ln x+5
Então, por regra do quociente,
f'(x)=u'(x),v(x)-u(x),v'(x)[v(x)]^2
Sabemos que
u'(x)=5^xln 5, v'(x)=1x
Substituindo, fica
f'(x) =5^xln 5;(ln x+5);-;5^x,1x(ln x+5)^2

Passo 3

Agora avaliamos em x=1. Note que ln1=0 e 5^1=5.
No numerador:
5^1ln5,(0+5);-;5^1cdot1 =5,ln5cdot5-5 =25ln5-5
No denominador:
(ln1+5)^2=5^2=25
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f'(1)=25ln5-525 =ln5-15

Resposta

f'(1)=ln5-15

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