Calcule as derivadas das funções nos pontos indicados.
f(x)=tg xx^3, em x=pi

Passo 1

O enunciado pede a derivada de f(x)=tan xx^3 e depois a avaliação em x=pi. Para isso vamos usar a regra do quociente e a derivada de funções trigonométricas (em particular ddxtan x=sec^2x).

Passo 2

Definimos
u(x)=tan x, v(x)=x^3,
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u'(x)=sec^2x, v'(x)=3x^2
Aplicando a regra do quociente
f'(x) =v(x),u'(x)-u(x),v'(x)l(v(x)r)^2 =x^3sec^2x-tan xcdot3x^2x^6

Passo 3

Agora simplificamos a fração:
f'(x) =x^2l(xsec^2x-3tan xr)x^6 =xsec^2x-3tan xx^4

Passo 4

Para x=pi usamos tanpi=0 e secpi=1 (logo sec^2pi=1). Substituindo:
f'(pi) =picdot1-3cdot0pi^4 =pipi^4 =1pi^3

Resposta

f'(pi)=1pi^3

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