Determine, se possıvel, o domınio, imagem, e esboce o gráfico das seguintes fun ções:
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos estudar a função por partes O que precisamos: determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico usando conceitos de funções definidas por partes.
Passo 2
Para achar o domínio, basta ver para quais valores de x cada ramo está definido. O primeiro ramo cobre x<0, o segundo cobre 0<= x<=1 e o terceiro cobre x>1. Como esses três intervalos juntos formam todos os reais, o domínio é
(-infty,infty)
Passo 3
Para encontrar a imagem, vamos analisar cada ramo separadamente e depois fazer a união:
Para x<0, f(x)=x^2 atinge valores em (0,infty) (já que x^2>0 e pode ficar arbitrariamente grande).
Para 0<= x<=1, f(x)=x^3 varia de 0^3=0 até 1^3=1, ou seja, [0,1].
Para x>1, f(x)=2x varia em (2,infty) (limita-se a 2 quando xto1^+, mas não atinge 2).
Fazendo a união desses intervalos temos o conjunto de todos os reais não-negativos.
Passo 4
Precisamos checar continuidade e pontos de ligação:
Em x=0, o ramo x^2 tende a 0 e o ramo x^3 vale exatamente 0, então a função é contínua em 0.
Em x=1, o ramo x^3 dá f(1)=1, mas o ramo 2x se aproxima de 2 por valores de x>1, então há salto em 1.
Passo 5
Para esboçar o gráfico, desenhamos:
À esquerda de 0, a parábola positiva y=x^2.
Entre 0 e 1, o cubo crescente y=x^3, pontilhando o eixo até (1,1).
Para x>1, a reta y=2x, começando logo acima de (1,2) (ponto aberto em (1,2)).
Marcamos ponto cheio em (1,1) e desenhamos cada ramo de forma contínua em seu domínio.
Passo 6
Com tudo isso, temos as respostas finais e o esboço do gráfico.
Resposta
Domínio: (-infty,infty).
Imagem: [0,infty).
Gráfico: parabólica y=x^2 para x<0, contínua em 0 com o ramo cúbico y=x^3 em [0,1] (chegando em (1,1)), seguido de um salto e reta y=2x para x>1 iniciando em ponto aberto em (1,2).