Determine, se possıvel, o domınio, imagem, e esboce o gráfico das seguintes fun ções:

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos estudar a função por partes f(x)=x^2,&x<0,x^3,&0<= x<=1,2x,&x>1O que precisamos: determinar o domínio, a imagem e esboçar o gráfico usando conceitos de funções definidas por partes.

Passo 2

Para achar o domínio, basta ver para quais valores de x cada ramo está definido. O primeiro ramo cobre x<0, o segundo cobre 0<= x<=1 e o terceiro cobre x>1. Como esses três intervalos juntos formam todos os reais, o domínio é
(-infty,infty)

Passo 3

Para encontrar a imagem, vamos analisar cada ramo separadamente e depois fazer a união:
  • Para x<0, f(x)=x^2 atinge valores em (0,infty) (já que x^2>0 e pode ficar arbitrariamente grande).
  • Para 0<= x<=1, f(x)=x^3 varia de 0^3=0 até 1^3=1, ou seja, [0,1].
  • Para x>1, f(x)=2x varia em (2,infty) (limita-se a 2 quando xto1^+, mas não atinge 2).
    Fazendo a união desses intervalos temos o conjunto de todos os reais não-negativos.

Passo 4

Precisamos checar continuidade e pontos de ligação:
  • Em x=0, o ramo x^2 tende a 0 e o ramo x^3 vale exatamente 0, então a função é contínua em 0.
  • Em x=1, o ramo x^3 f(1)=1, mas o ramo 2x se aproxima de 2 por valores de x>1, então há salto em 1.

Passo 5

Para esboçar o gráfico, desenhamos:
  1. À esquerda de 0, a parábola positiva y=x^2.
  2. Entre 0 e 1, o cubo crescente y=x^3, pontilhando o eixo até (1,1).
  3. Para x>1, a reta y=2x, começando logo acima de (1,2) (ponto aberto em (1,2)).
    Marcamos ponto cheio em (1,1) e desenhamos cada ramo de forma contínua em seu domínio.

Passo 6

Com tudo isso, temos as respostas finais e o esboço do gráfico.

Resposta

Domínio: (-infty,infty).
Imagem: [0,infty).
Gráfico: parabólica y=x^2 para x<0, contínua em 0 com o ramo cúbico y=x^3 em [0,1] (chegando em (1,1)), seguido de um salto e reta y=2x para x>1 iniciando em ponto aberto em (1,2).

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