Calcule as derivadas das funções seguintes:
f(x)=e^{\alpha t} \cos (\beta t)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(t) = e^{\alpha t}\cos(\beta t).
O conteúdo envolvido é a regra do produto de derivadas e as derivadas elementares de e^{\alpha t} e de \cos(\beta t).

Passo 2

Identificamos na função os fatores
u(t) = e^{\alpha t} \quad\text{e}\quad v(t) = \cos(\beta t).
Pela regra do produto,
\frac{d}{dt}[u(t)v(t)] = u'(t)\,v(t) + u(t)\,v'(t).

Passo 3

Calculamos cada derivada:
u'(t) = \frac{d}{dt}e^{\alpha t} = \alpha\,e^{\alpha t}, \qquad v'(t) = \frac{d}{dt}\cos(\beta t) = -\beta\,\sin(\beta t).
Substituindo na regra do produto,
f'(t) = \alpha\,e^{\alpha t}\cos(\beta t) + e^{\alpha t}\bigl(-\beta\,\sin(\beta t)\bigr).

Passo 4

Agrupando termos e fatorando e^{\alpha t}, obtemos
f'(t) = e^{\alpha t}\bigl(\alpha \cos(\beta t) - \beta \sin(\beta t)\bigr).

Resposta

f'(t) = e^{\alpha t}\bigl(\alpha \cos(\beta t) - \beta \sin(\beta t)\bigr).

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