Estude as funções inversas das funções:
.
Passo 1
O enunciado pede para estudarmos as funções inversas de
. Isto envolve identificar em que intervalos essa função é injetora (para podermos restringi-la) e depois obter a expressão de sua inversa nesses ramos. O conteúdo envolve: definição de injetividade, monotonicidade, restrição de domínio e resolução de
para
.
Passo 2
Analisando
:
- Domínio:
. - Imagem:
logo
.
3. Paridade: , ou seja,
é par e, portanto, não é injetora em todo
.
4. Monotonicidade:
3. Paridade:
4. Monotonicidade:
- Em
, é estritamente decrescente de até . - Em
, é estritamente crescente de até .
Para ter inversa precisamos de injetividade, então restringiremos o domínio.
Passo 3
Definimos dois ramos injetores de
:
-
dada por , estritamente crescente. -
dada por , estritamente decrescente.
Cada um desses é bijetoronto
, portanto admitem inversa.
Passo 4
Para obter a inversa, resolvemos
Multiplicando por
e rearranjando ficamos com a equação quadrática em
:
A solução positiva (padrão) é
pois
. Tomando logaritmo, obtemos
Denominamos esta função de
.
Passo 5
Para o ramo crescente
, a inversa é
Esta função é crescente, contínua e derivável em
, com derivada
Passo 6
Para o ramo decrescente
, basta lembrar que
. Logo a inversa de
é
que é estritamente decrescente.
Resposta
Ramo crescente (
):
Ramo decrescente (
):