Estude as funções inversas das funções:
f(x)=\operatorname{cosh} x.

Passo 1

O enunciado pede para estudarmos as funções inversas de f(x)=\operatorname{cosh} x. Isto envolve identificar em que intervalos essa função é injetora (para podermos restringi-la) e depois obter a expressão de sua inversa nesses ramos. O conteúdo envolve: definição de injetividade, monotonicidade, restrição de domínio e resolução de
y=\operatorname{cosh} x
para x.

Passo 2

Analisando f(x)=\operatorname{cosh} x:
  1. Domínio: \mathbb{R}.
  2. Imagem:
\operatorname{cosh} x\ge1\quad\forall x\in\mathbb{R},
logo \mathrm{Im}(f)=[1,\infty).
3. Paridade: \operatorname{cosh}(-x)=\operatorname{cosh} x, ou seja, f é par e, portanto, não é injetora em todo \mathbb{R}.
4. Monotonicidade:
  • Em (-\infty,0], \operatorname{cosh} x é estritamente decrescente de +\infty até 1.
  • Em [0,\infty), \operatorname{cosh} x é estritamente crescente de 1 até +\infty.
Para ter inversa precisamos de injetividade, então restringiremos o domínio.

Passo 3

Definimos dois ramos injetores de f:
  1. f_1\colon[0,\infty)\to[1,\infty) dada por f_1(x)=\operatorname{cosh} x, estritamente crescente.
  2. f_2\colon(-\infty,0]\to[1,\infty) dada por f_2(x)=\operatorname{cosh} x, estritamente decrescente.
Cada um desses é bijetoronto [1,\infty), portanto admitem inversa.

Passo 4

Para obter a inversa, resolvemos
y=\operatorname{cosh} x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}.
Multiplicando por 2e^x e rearranjando ficamos com a equação quadrática em e^x:
e^{2x}-2y\,e^x+1=0.
A solução positiva (padrão) é
e^x=y+\sqrt{y^2-1},
pois e^x>0. Tomando logaritmo, obtemos
x=\ln\bigl(y+\sqrt{y^2-1}\bigr).
Denominamos esta função de \operatorname{arcosh}y.

Passo 5

Para o ramo crescente f_1, a inversa é
f_1^{-1}(y)=\operatorname{arcosh}(y)=\ln\!\bigl(y+\sqrt{y^2-1}\bigr), \quad y\in[1,\infty).
Esta função é crescente, contínua e derivável em (1,\infty), com derivada
\bigl(f_1^{-1}\bigr)'(y) =\frac{1}{\sqrt{y^2-1}}.

Passo 6

Para o ramo decrescente f_2, basta lembrar que f_2(x)=f_1(-x). Logo a inversa de f_2 é
f_2^{-1}(y)=-\operatorname{arcosh}(y)=-\ln\!\bigl(y+\sqrt{y^2-1}\bigr), \quad y\in[1,\infty),
que é estritamente decrescente.

Resposta

Ramo crescente ( x\ge0):
f_1^{-1}(y)=\operatorname{arcosh}(y) =\ln\!\bigl(y+\sqrt{y^2-1}\bigr), \quad y\in[1,\infty).
Ramo decrescente ( x\le0):
f_2^{-1}(y)=-\operatorname{arcosh}(y) =-\ln\!\bigl(y+\sqrt{y^2-1}\bigr), \quad y\in[1,\infty).

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