Calcule as derivadas das funções seguintes:
f(x)=\ln \frac{\sqrt{1+e^{x}}-1}{\sqrt{1+e^{x}}+1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\ln\frac{\sqrt{1+e^{x}}-1}{\sqrt{1+e^{x}}+1}.
Vamos usar regra da cadeia, sabendo que \frac{d}{dx}\ln v = \frac{v'}{v} e que \frac{d}{dx}\sqrt{g(x)}=\frac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}.

Passo 2

Definimos
u(x)=\sqrt{1+e^{x}},
então
f(x)=\ln(u-1)-\ln(u+1).

Passo 3

Aplicando a derivada de logaritmo em cada termo:
f'(x) =\frac{u'(x)}{u-1}-\frac{u'(x)}{u+1} =u'(x)\Bigl(\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u+1}\Bigr).
No parêntese temos
\frac{1}{u-1}-\frac{1}{u+1} =\frac{(u+1)-(u-1)}{(u-1)(u+1)} =\frac{2}{u^{2}-1}.
Como u^{2}=1+e^{x}, segue u^{2}-1=e^{x}. Logo,
f'(x)=u'(x)\,\frac{2}{e^{x}}.

Passo 4

Agora calculamos u'(x). Como u(x)=\sqrt{1+e^{x}}, temos
u'(x)=\frac{(1+e^{x})'}{2\sqrt{1+e^{x}}} =\frac{e^{x}}{2u}.
Substituindo em f'(x):
f'(x) =\frac{2}{e^{x}}\cdot\frac{e^{x}}{2u} =\frac{1}{u} =\frac{1}{\sqrt{1+e^{x}}}.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1+e^{x}}}.

Exercícios relacionados