Calcule as derivadas das funções seguintes:
f(x)=e^{\alpha x} \operatorname{ch}(\beta x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=e^{\alpha x}\,\operatorname{ch}(\beta x).
O conteúdo principal aqui é a regra do produto e as derivadas de e^{\alpha x} e de \operatorname{ch}(\beta x).

Passo 2

Definimos
u(x)=e^{\alpha x} \quad\text{e}\quad v(x)=\operatorname{ch}(\beta x).
Pela regra do produto,
f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Além disso, sabemos que
u'(x)=\frac{d}{dx}e^{\alpha x}=\alpha\,e^{\alpha x},
v'(x)=\frac{d}{dx}\operatorname{ch}(\beta x) =\beta\,\operatorname{sh}(\beta x).

Passo 3

Substituindo na regra do produto, obtemos
f'(x) =\bigl(\alpha\,e^{\alpha x}\bigr)\,\operatorname{ch}(\beta x) +e^{\alpha x}\,\bigl(\beta\,\operatorname{sh}(\beta x)\bigr).

Passo 4

Podemos fatorar e^{\alpha x} em evidência:
f'(x) =e^{\alpha x}\,\bigl(\alpha\,\operatorname{ch}(\beta x) +\beta\,\operatorname{sh}(\beta x)\bigr).

Resposta

f'(x) =e^{\alpha x}\,\bigl(\alpha\,\operatorname{ch}(\beta x) +\beta\,\operatorname{sh}(\beta x)\bigr).

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