Calcule as derivadas das funções seguintes:
f(x)=\ln \cos \frac{x-1}{x}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\ln\!\biggl(\cos\frac{x-1}{x}\biggr).
Aqui vamos usar a regra da cadeia para derivar o logaritmo natural composto com cosseno, mais a derivada de cosseno e a derivada de uma função quociente.

Passo 2

Definimos duas funções intermediárias:
u(x)=\cos\bigl(v(x)\bigr), \quad v(x)=\frac{x-1}{x}.
Então f(x)=\ln\bigl(u(x)\bigr). Pela regra da cadeia,
f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}.

Passo 3

Agora derivamos u(x)=\cos\bigl(v(x)\bigr). Novamente pela cadeia,
u'(x)=-\sin\bigl(v(x)\bigr)\cdot v'(x).

Passo 4

Falta achar v'(x) para v(x)=\frac{x-1}{x}. Podemos reescrever
v(x)=1-\frac{1}{x}
e então
v'(x)=0-\bigl(-1\bigr)x^{-2}=\frac{1}{x^2}.

Passo 5

Substituindo esses resultados em f'(x)=\frac{u'(x)}{u(x)}, temos
f'(x) =\frac{-\sin\bigl(v(x)\bigr)\,v'(x)}{\cos\bigl(v(x)\bigr)} =-\frac{\sin\bigl(v(x)\bigr)}{\cos\bigl(v(x)\bigr)}\;v'(x) =-\tan\bigl(v(x)\bigr)\,\frac{1}{x^2}.
Como v(x)=\frac{x-1}{x}, chega-se a:

Resposta

f'(x)=-\frac{\tan\!\bigl(\frac{x-1}{x}\bigr)}{x^2}.

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