Calcule as derivadas das funções seguintes:
f(x)=\operatorname{arcsen}(\ln x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\operatorname{arcsen}(\ln x).
Aqui o conteúdo principal é derivar uma função composta usando a regra da cadeia, sabendo que a derivada de \operatorname{arcsen}(u) é
\frac{d}{du}\bigl[\operatorname{arcsen}(u)\bigr] =\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}
e que a derivada de \ln x é \tfrac{1}{x}.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=\ln x
e a função externa
v(u)=\operatorname{arcsen}(u).
Então f(x)=v\bigl(u(x)\bigr). Pela regra da cadeia,
f'(x) =v'\bigl(u(x)\bigr)\,\cdot\,u'(x).

Passo 3

Calculamos cada derivada isoladamente:
v'(u)=\frac{1}{\sqrt{1-u^2}} \quad\text{e}\quad u'(x)=\frac{1}{x}.

Passo 4

Substituindo u=\ln x e as derivadas em f'(x)=v'(u)\,u'(x), vem
f'(x) =\frac{1}{\sqrt{1-(\ln x)^2}}\;\cdot\;\frac{1}{x} =\frac{1}{x\,\sqrt{1-(\ln x)^2}}.

Resposta

f'(x)=\frac{1}{x\,\sqrt{1-(\ln x)^2}}.

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