Calcule as derivadas das funções seguintes:
f(x)=\sqrt{e^{a x}}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\sqrt{e^{a x}}.
O conteúdo aqui é usar a regra da cadeia e a derivada da função exponencial.

Passo 2

Identificamos a função composta em duas etapas:
\displaystyle g(x)=e^{a x} e
\displaystyle h(u)=\sqrt{u}=u^{1/2},
de modo que f(x)=h\bigl(g(x)\bigr). Precisamos de g'(x) e de h'(u).

Passo 3

Calculamos cada derivada:
g'(x)=\frac{d}{dx}e^{a x}=a\,e^{a x},
h'(u)=\frac{d}{du}u^{1/2}=\frac12\,u^{-1/2}=\frac1{2\sqrt{u}}.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia \displaystyle f'(x)=h'\bigl(g(x)\bigr)\,g'(x), temos
f'(x) =\frac1{2\sqrt{g(x)}}\;\bigl(a\,e^{a x}\bigr) =\frac{a\,e^{a x}}{2\sqrt{e^{a x}}} =\frac{a}{2}\,\sqrt{e^{a x}}.

Resposta

f'(x)=\frac{a}{2}\,\sqrt{e^{a x}}

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