Utilizando integrais triplas em coordenadas esféricas, calcule o volume da esfera de equação x^{2}+y^{2}+z^{2}=25.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o volume da esfera de equação \,x^{2}+y^{2}+z^{2}=25 usando integrais triplas em coordenadas esféricas. Vamos precisar da transformação para coordenadas esféricas e do Jacobiano associado.

Passo 2

Em coordenadas esféricas definimos
x = \rho\sin\varphi\cos\theta,\quad y = \rho\sin\varphi\sin\theta,\quad z = \rho\cos\varphi
e o elemento de volume é
dV = \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.
Para a esfera de raio 5, temos
0 \le \rho \le 5,\quad 0 \le \varphi \le \pi,\quad 0 \le \theta \le 2\pi.

Passo 3

Montamos a integral tripla para o volume:
V = \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{5} \rho^{2}\sin\varphi\,d\rho\,d\varphi\,d\theta.

Passo 4

Primeiro integramos em \rho:
\int_{0}^{5}\rho^{2}\,d\rho = \left[\frac{\rho^{3}}{3}\right]_{0}^{5} = \frac{125}{3}.
Então
V = \frac{125}{3} \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi\,d\theta.

Passo 5

Agora integramos em \varphi:
\int_{0}^{\pi}\sin\varphi\,d\varphi = \bigl[-\cos\varphi\bigr]_{0}^{\pi} = (-\cos\pi)-(-\cos0) = 2.
Fica
V = \frac{125}{3}\cdot 2 \int_{0}^{2\pi}d\theta = \frac{250}{3}\int_{0}^{2\pi}d\theta.
Por fim, em \theta:
\int_{0}^{2\pi}d\theta = 2\pi \quad\Longrightarrow\quad V = \frac{250}{3}\cdot 2\pi = \frac{500\pi}{3}.

Resposta

V = \frac{500\pi}{3}.

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