Calcule as derivadas das funções seguintes:
f(x)=\ln (\operatorname{sh}(2 x))

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x)=\ln\bigl(\operatorname{sh}(2x)\bigr)
e pede f'(x). Vamos usar a regra da cadeia, a derivada do logaritmo natural e a derivada da função hiperbólica \operatorname{sh}.

Passo 2

Aplicando a derivada do logaritmo natural, isto é,
(\ln(u))'=\frac{u'}{u},
obtemos
f'(x) =\frac{\bigl(\operatorname{sh}(2x)\bigr)'}{\operatorname{sh}(2x)}.

Passo 3

Para calcular \bigl(\operatorname{sh}(2x)\bigr)', usamos que
\frac{d}{dx}\,\operatorname{sh}(u)=u'\,\operatorname{ch}(u).
Aqui u=2x e u'=2, logo
\bigl(\operatorname{sh}(2x)\bigr)'=2\,\operatorname{ch}(2x).

Passo 4

Substituindo em f'(x):
f'(x) =\frac{2\,\operatorname{ch}(2x)}{\operatorname{sh}(2x)} =2\,\coth(2x),
onde definimos \coth(z)=\dfrac{\operatorname{ch}(z)}{\operatorname{sh}(z)}.

Resposta

f'(x)=2\,\coth(2x).

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