Calcule as derivadas das funções seguintes:
f(x)=x^{n} a^{-x^{2}} :

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=x^{n}\,a^{-x^{2}}
onde n é um inteiro e a>0 (e a\neq1).
Para resolver vamos usar duas ferramentas principais:
  1. Regra do produto:
\bigl[u(x)\,v(x)\bigr]'=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
  1. Derivada de a^{u(x)}:
\frac{d}{dx}\bigl(a^{u(x)}\bigr)=a^{u(x)}\ln(a)\,u'(x).

Passo 2

Identificamos u(x)=x^{n} e v(x)=a^{-x^{2}}.
Aplicando a regra do produto:
f'(x)=\bigl(x^{n}\bigr)'\,a^{-x^{2}} +x^{n}\,\frac{d}{dx}\bigl(a^{-x^{2}}\bigr).
Sabemos que
\bigl(x^{n}\bigr)'=n\,x^{n-1},
e, com u(x)=-x^{2},
\frac{d}{dx}\bigl(a^{-x^{2}}\bigr) =a^{-x^{2}}\ln(a)\,\bigl(-2x\bigr) =-2x\ln(a)\,a^{-x^{2}}.

Passo 3

Substituindo as derivadas em f'(x):
f'(x) =n\,x^{n-1}\,a^{-x^{2}} +x^{n}\bigl(-2x\ln(a)\,a^{-x^{2}}\bigr).
Agrupando o fator comum x^{n-1}a^{-x^{2}}:
f'(x) =x^{n-1}a^{-x^{2}}\Bigl(n-2x^{2}\ln(a)\Bigr).

Resposta

f'(x) =x^{n-1}a^{-x^{2}}\bigl(n-2x^{2}\ln(a)\bigr).

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