Estude as funções inversas das funções:
f(x)=\operatorname{senh} x.

Passo 1

O enunciado pede para estudarmos a função inversa de f(x)=\operatorname{sinh} x.
Conteúdo: análise de monotonicidade e bijetividade para garantir inversibilidade, expressão analítica da inversa, domínio e imagem da inversa, e derivada da inversa.

Passo 2

Determinar domínio, imagem e monotonicidade de f.
O domínio natural de \operatorname{sinh} x é todo o eixo real, isto é, \mathbb{R}.
A derivada é
\frac{d}{dx}\operatorname{sinh} x=\operatorname{cosh} x,
e como \operatorname{cosh} x>0 para todo x\in\mathbb{R}, concluímos que \operatorname{sinh} x é estritamente crescente.
Logo f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} é bijetiva, com imagem também \mathbb{R}.

Passo 3

Achar a expressão de f^{-1}.
Partimos de
y=\operatorname{sinh} x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.
Multiplicando por 2e^{x} e reorganizando, obtemos a equação quadrática em e^{x}:
e^{2x}-2y\,e^{x}-1=0.
Pela fórmula de Bhaskara, a solução positiva (pois e^{x}>0) é
e^{x}=y+\sqrt{y^{2}+1}.
Tomando logaritmo natural,
x=\ln\bigl(y+\sqrt{y^{2}+1}\bigr).
Portanto a inversa é
\operatorname{sinh}^{-1}y=\ln\bigl(y+\sqrt{y^{2}+1}\bigr).

Passo 4

Domínio e imagem da inversa e sua derivada.
Como \operatorname{sinh} mapeia \mathbb{R} sobre \mathbb{R}, a inversa \operatorname{sinh}^{-1} tem domínio \mathbb{R} e imagem \mathbb{R}.
Para ver que \operatorname{sinh}^{-1}x é também estritamente crescente, calculamos sua derivada via regra da inversa:
\frac{d}{dx}\bigl[\operatorname{sinh}^{-1}x\bigr] =\frac{1}{\frac{d}{du}\operatorname{sinh} u\bigl|_{u=\operatorname{sinh}^{-1}x}} =\frac{1}{\operatorname{cosh}\bigl(\operatorname{sinh}^{-1}x\bigr)} =\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}.
Esta derivada é positiva para todo x, confirmando o crescimento.

Resposta

Função inversa:
\operatorname{sinh}^{-1}x=\ln\bigl(x+\sqrt{x^{2}+1}\bigr).
Domínio de \operatorname{sinh}^{-1}x: \mathbb{R}.
Imagem de \operatorname{sinh}^{-1}x: \mathbb{R}.
Derivada:
\frac{d}{dx}\operatorname{sinh}^{-1}x=\frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}.

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