Estude as funções inversas das funções: f(x)=\operatorname{senh} x.
Passo 1
O enunciado pede para estudarmos a função inversa de f(x)=\operatorname{sinh} x.
Conteúdo: análise de monotonicidade e bijetividade para garantir inversibilidade, expressão analítica da inversa, domínio e imagem da inversa, e derivada da inversa.
Passo 2
Determinar domínio, imagem e monotonicidade de f.
O domínio natural de \operatorname{sinh} x é todo o eixo real, isto é, \mathbb{R}.
A derivada é
e como \operatorname{cosh} x>0 para todo x\in\mathbb{R}, concluímos que \operatorname{sinh} x é estritamente crescente.
Logo f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} é bijetiva, com imagem também \mathbb{R}.
Passo 3
Achar a expressão de f^{-1}.
Partimos de
y=\operatorname{sinh} x=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}.
Multiplicando por 2e^{x} e reorganizando, obtemos a equação quadrática em e^{x}:
e^{2x}-2y\,e^{x}-1=0.
Pela fórmula de Bhaskara, a solução positiva (pois e^{x}>0) é
Domínio e imagem da inversa e sua derivada.
Como \operatorname{sinh} mapeia \mathbb{R} sobre \mathbb{R}, a inversa \operatorname{sinh}^{-1} tem domínio \mathbb{R} e imagem \mathbb{R}.
Para ver que \operatorname{sinh}^{-1}x é também estritamente crescente, calculamos sua derivada via regra da inversa: