Calcule as derivadas das funções seguintes:
f(x)=\operatorname{sh}^{3}(2 x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=\operatorname{sinh}^3(2x).
O conteúdo a ser aplicado é a regra da cadeia para uma potência composta e a derivada da função hiperbólica \operatorname{sinh}.

Passo 2

Definimos
g(x)=\operatorname{sinh}(2x),
de modo que
f(x)=[g(x)]^3.
Pela regra da derivada de potência, temos
f'(x)=3\,[g(x)]^2\;g'(x).

Passo 3

Agora precisamos de g'(x). Como
g(x)=\operatorname{sinh}(2x),
sua derivada é
g'(x)=\operatorname{cosh}(2x)\,\frac{d}{dx}(2x)=2\,\operatorname{cosh}(2x).

Passo 4

Substituindo g(x) e g'(x) em f'(x), obtemos
f'(x)=3\,[\operatorname{sinh}(2x)]^2\;\bigl(2\,\operatorname{cosh}(2x)\bigr) =6\,\operatorname{sinh}^2(2x)\,\operatorname{cosh}(2x).

Resposta

f'(x)=6\,\operatorname{sinh}^2(2x)\,\operatorname{cosh}(2x).

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