Calcule as derivadas das funções a seguir:
f(x)=(3 x+1x+2)(x+7)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=l(3x+1x+2r)(x+7)
O conteúdo envolvido é a regra do produto e, dentro dela, a regra do quociente.

Passo 2

Para organizar, defina
u(x)=3x+1x+2, v(x)=x+7
Então
f(x)=u(x),v(x),
e pela regra do produto
f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x)

Passo 3

Calcule v'(x). Como v(x)=x+7, temos
v'(x)=1

Passo 4

Agora calcule u'(x) usando a regra do quociente:
u'(x) =(3x+1)'(x+2)-(3x+1),(x+2)'(x+2)^2 =3(x+2)-(3x+1)cdot1(x+2)^2 =3x+6-3x-1(x+2)^2 =5(x+2)^2

Passo 5

Substitua em f'(x)=u'(x),v(x)+u(x),v'(x):
f'(x) =5(x+2)^2(x+7) +3x+1x+2cdot1 =5(x+7)(x+2)^2+3x+1x+2

Passo 6

Para simplificar, coloque tudo sobre (x+2)^2:
5(x+7)(x+2)^2 +3x+1x+2 =5(x+7)+(3x+1)(x+2)(x+2)^2
Expanda o numerador:
5x+35+3x^2+6x+x+2 =3x^2+12x+37
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f'(x)=3x^2+12x+37(x+2)^2

Resposta

f'(x)=3x^2+12x+37(x+2)^2

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