Calcule as derivadas das funções a seguir:
g(x)=raiz[10]xx+1

Passo 1

O enunciado pede pra achar a derivada de g(x)=raiz[10]xx+1. O conteúdo é derivada de função composta e de quociente; vamos usar a regra da cadeia e a regra do quociente.

Passo 2

Definimos u(x)=xx+1, de modo que g(x)=[u(x)]^1/10. Pela regra da cadeia,
g'(x)=110,[u(x)]^1/10-1cdot u'(x)

Passo 3

Agora derivamos u(x)=xx+1 por regra do quociente: se u=fh, então
u'(x)=f'(x),h(x)-f(x),h'(x)[h(x)]^2 =1cdot(x+1)-xcdot1(x+1)^2 =1(x+1)^2

Passo 4

Substituindo u(x) e u'(x) em g'(x):
g'(x)=110l(xx+1r)^-9/10cdot1(x+1)^2

Passo 5

Para simplificar, note que (x/(x+1))^-9/10=((x+1)/x)^9/10. Então
g'(x)=110,((x+1)/x)^9/10(x+1)^2 =110,x^-9/10(x+1)^-11/10

Resposta

g'(x)=dfrac110,x^9/10(x+1)^11/10

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