Em uma ilha, certo tipo de vegetação é abundante em certas épocas do ano e escasso em outras. A área S, em quilômetros quadrados, ocupada por esta vegetação na ilha, ao longo do ano, pode ser expressa por meio da função S(t)=100+50 cdot sen(pi t6) em que t=1, t=2, t=3, ldots t=12, representam o final dos meses de Janeiro, Fevereiro, março, …, dezembro, respectivamente.
Qual a menor área ocupada pela vegetação, ao longo de um ano?

Passo 1

Beleza, vamos analisar o que a questão está pedindo. A gente tem uma função que descreve a área S(t) de vegetação em uma ilha ao longo do ano, distribuída nos 12 meses. A função é:
S(t) = 100 + 50 cdot sin(pi t6)
Aqui, t = 1, 2, 3, ldots, 12 representam os meses de janeiro a dezembro. Nosso objetivo é descobrir qual é a menor área que a vegetação ocupa durante o ano. Para isso, vamos precisar entender como a função seno funciona e como encontrar seus valores mínimos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função seno, sin(x) , varia entre -1 e 1. Isso significa que:
-1 <= sin(x) <= 1
No nosso caso, a função é:
sin(pi t6)
Como o seno está multiplicado por 50, vamos multiplicar os limites:
-50 <= 50 cdot sin(pi t6) <= 50
Agora, somamos 100 a todos os lados da desigualdade:
100 - 50 <= 100 + 50 cdot sin(pi t6) <= 100 + 50
50 <= S(t) <= 150

Passo 3

Então, pela análise acima, vemos que a área S(t) nunca fica abaixo de 50 km² nem acima de 150 km² ao longo do ano. Queremos saber qual é o valor mínimo de S(t) .
Como o menor valor do seno é -1, substituindo na função:
S(t) = 100 + 50 cdot (-1) = 100 - 50 = 50
Isso significa que a menor área de vegetação é 50 km².

Resposta

A menor área ocupada pela vegetação ao longo do ano é de 50 km².

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