Derivando implicitamente a expressão 4 cos (2 x y)-10 x+2 y-4=0, obtemos que a derivada de y em relação a x no ponto (0,0) é:
○. -8
○. -5
○. 5
O d. 13
○. 8

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrarmos a derivada de y em relação a x na expressão implícita 4 cos (2xy) - 10x + 2y - 4 = 0 no ponto (0,0) . Para resolver isso, vamos usar derivação implícita, que é útil quando y está ligado a x de forma que não dá para isolar o y facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação em relação a x . Lembre-se que y é uma função de x , então quando derivamos termos que envolvem y , precisamos usar a regra da cadeia.
A equação é:
4 cos (2xy) - 10x + 2y - 4 = 0
Derivando cada termo:
  1. ddx[4 cos (2xy)]
  2. ddx[-10x]
  3. ddx[2y]
  4. ddx[-4]

Passo 3

Vamos derivar termo a termo:
  1. Derivada de 4 cos (2xy) :
    • A derivada de cos(u) é -sin(u) cdot dudx .
    • Aqui, u = 2xy , então dudx = 2y + 2x dydx .
    • Então, a derivada fica:
-4 sin(2xy) cdot (2y + 2x dydx)
  1. Derivada de -10x :
    • Simplesmente, -10 .
  2. Derivada de 2y :
    • Como y é função de x , a derivada é 2 dydx .
  3. Derivada de -4 :
    • Constante, a derivada é 0 .

Passo 4

Juntando tudo, a derivada total da equação é:
-4 sin(2xy) (2y + 2x dydx) - 10 + 2 dydx = 0
Simplificando:
-8 sin(2xy) y - 8x sin(2xy) dydx - 10 + 2 dydx = 0

Passo 5

Agora, queremos encontrar dydx no ponto (0,0) . Vamos substituir x = 0 e y = 0 na equação:
-8 sin(0) cdot 0 - 8 cdot 0 cdot sin(0) dydx - 10 + 2 dydx = 0
Sabemos que sin(0) = 0 , então termos com sin(0) desaparecem:
-10 + 2 dydx = 0

Passo 6

Resolvendo para dydx :
2 dydx = 10
dydx = 102
dydx = 5

Resposta

A derivada de y em relação a x no ponto (0,0) é 5.
A opção correta é:
○. 5

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