Calcule as derivadas das funções a seguir.
y=arccossec x ; x in] 1,+infty[, y in] 0, pi / 2[

Passo 1

Temos a função inversa de trigonometria envolvendo a cosecante: y=arccosecx. O conteúdo aqui é derivada de função inversa (no caso arcsin) junto com regra da cadeia e simplificação de radicais. Vamos precisar da relação entre arccosec e arcsin e da fórmula de derivada de arcsin(u).

Passo 2

Para ficar mais fácil, lembramos que cosec(y)=x é equivalente a sin(y)=1/x. Portanto podemos reescrever
y=arccosecx
como
y=arcsinl(1/xr)

Passo 3

Agora aplicamos a derivada de arcsin(u), que é
ddxl[arcsin(u)r]=u'raiz1-u^2
No nosso caso u=1/x, então u'=-1/x^2. Substituindo:
dydx=-1/x^2raiz1-(1/x)^2

Passo 4

Basta agora simplificar o denominador. Note que
1-1x^2=x^2-1x^2,
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raiz1-(1/x)^2=raizx^2-1|x|

Passo 5

Como estamos em x>1, temos |x|=x. Então:
dydx=-1/x^2(raizx^2-1)/x =-1x^2cdotxraizx^2-1 =-1xraizx^2-1

Resposta

y'=-dfrac1xraizx^2-1.

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