Calcule as derivadas das funções a seguir.
y=arcsec x ; x in] 1,+infty[, y in] 0, pi / 2[

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de no domínio y = arcsec x. Estamos trabalhando com derivadas de funções inversas, em particular a arcosecante, e vamos usar a relação entre a função e sua inversa e as identidades trigonométricas.

Passo 2

Começamos definindo , o que implica y = arcsec x. Diferenciando implicitamente em relação a x = sec y temos
x
Logo,
dxdx = ddx(sec y) Longrightarrow 1 = sec ytan y,dydx

Passo 3

Agora expressamos sec y e tan y em termos de x. Sabemos que sec y = x e
tan y = raizsec^2y - 1 = raizx^2 - 1

Passo 4

Substituindo esses valores em dydx obtemos
dydx = 1xraizx^2 - 1

Resposta

dydx = 1xraizx^2 - 1

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