Calcule as derivadas das funções a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada de no domínio
. Estamos trabalhando com derivadas de funções inversas, em particular a arcosecante, e vamos usar a relação entre a função e sua inversa e as identidades trigonométricas.
Passo 2
Começamos definindo , o que implica
. Diferenciando implicitamente em relação a
temos
Logo,
Passo 3
Agora expressamos
e
em termos de
. Sabemos que
e
Passo 4
Substituindo esses valores em
obtemos