(2,0 pontos) Faça um esboço e determine a área da região finita do primeiro quadrante definida pelas seguintes curvas:
e
.
Passo 1
Vamos esboçar as curvas no primeiro quadrante e determinar a área da região finita delimitada por x+y=2, y=x² e y=2 usando integração: primeiro encontramos os pontos de interseção, depois identificamos as curvas que fazem o papel de limites superior e inferior, e por fim montamos e calculamos as integrais.
Passo 2
Interseções das curvas: entre x+y=2 e y=x² resolvemos x²+x−2=0, obtendo x=1, y=1; entre x+y=2 e y=2 temos x=0, y=2; entre y=x² e y=2 temos x=√2, y=2.
Passo 3
Esboço qualitativo: os pontos críticos são A(0,2), B(1,1) e C(√2,2). A região fechada é limitada por: de A até B pela reta x+y=2, de B até C pela parábola y=x² e de C até A pela reta horizontal y=2.
Passo 4
Observando o esboço vemos que, para x entre 0 e 1, o limite inferior é a reta y=2−x; para x entre 1 e √2 é a parábola y=x²; em todo o intervalo o limite superior é y=2.
Passo 5
A área A é dada por:
Passo 6
Calculando cada integral:
Passo 7
Somando e simplificando: