(2,0 pontos) Faça um esboço e determine a área da região finita do primeiro quadrante definida pelas seguintes curvas: x+y=2, y=x^2 e y=2.

Passo 1

Vamos esboçar as curvas no primeiro quadrante e determinar a área da região finita delimitada por x+y=2, y=x² e y=2 usando integração: primeiro encontramos os pontos de interseção, depois identificamos as curvas que fazem o papel de limites superior e inferior, e por fim montamos e calculamos as integrais.

Passo 2

Interseções das curvas: entre x+y=2 e y=x² resolvemos x²+x−2=0, obtendo x=1, y=1; entre x+y=2 e y=2 temos x=0, y=2; entre y=x² e y=2 temos x=√2, y=2.

Passo 3

Esboço qualitativo: os pontos críticos são A(0,2), B(1,1) e C(√2,2). A região fechada é limitada por: de A até B pela reta x+y=2, de B até C pela parábola y=x² e de C até A pela reta horizontal y=2.

Passo 4

Observando o esboço vemos que, para x entre 0 e 1, o limite inferior é a reta y=2−x; para x entre 1 e √2 é a parábola y=x²; em todo o intervalo o limite superior é y=2.

Passo 5

A área A é dada por:
A=integral0^1l[2-(2-x)r],dx+integral1^raiz2l[2-x^2r],dx

Passo 6

Calculando cada integral:
integral0^1x,dx=tfrac12,integral1^raiz2(2-x^2),dx=l[2x-tfracx^33r]1^raiz2=4raiz2-53

Passo 7

Somando e simplificando:
A=12+4raiz2-53=8raiz2-76

Resposta

8raiz2-76

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