Calcule as derivadas das funções a seguir.
y=arccotg x ; x in]-infty,+infty[, y in] 0, pi[

Passo 1

O enunciado pede a derivada de y=arccotg x. O conteúdo aqui é derivação de funções inversas trigonométricas e vamos usar diferenciação implícita na relação cot(y)=x juntamente com identidades trigonométricas para expressar tudo em termos de x.

Passo 2

Diferenciando implicitamente em relação a x a igualdade cot(y)=x, temos:
ddx[cot(y)] = -csc^2(y),y',
ddx[x] = 1
Logo,
-csc^2(y),y' = 1
e portanto
y' = -1csc^2(y) = -sin^2(y)

Passo 3

A partir de cot(y)=x, montamos um triângulo retângulo com cateto adjacente de valor x, cateto oposto de valor 1 e hipotenusa de valor raiz1+x^2. Assim:
sin(y) = 1raiz1+x^2,
sin^2(y) = 11+x^2
Substituindo esse valor em y' = -sin^2(y), obtemos a derivada em função de x.

Resposta

-11+x^2

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