Seja
uma função. Se existir uma reta
tal que
, dizemos que
é uma assíntota para
. Prove que a reta
é uma assíntota para
se, e somente se,
e
. (Tudo o que dissemos para
vale também para
.)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a reta
é assíntota de
à direita (isto é,
) se, e somente se, valem simultaneamente os limites
e
. Vamos usar propriedades básicas de limites e dividir a prova em duas direções.
Passo 2
Prova da direção “
": suponha que
. Então definimos
, de modo que
. Podemos escrever
Como
e como
segue
.
Passo 3
Prova da direção “
": agora suponha
e
. Observe que
Como pela hipótese
Resposta
Mostramos assim que
é assíntota de
se, e somente se,
e
.