Seja f uma função. Se existir uma reta y=m x+n tal que lim x +infty[f(x)-(m x+n)]=0, dizemos que y=m x+n é uma assíntota para f. Prove que a reta y=m x+n é uma assíntota para f se, e somente se, lim x +infty f(x)x=m e lim x +infty(f(x)-m x)=n. (Tudo o que dissemos para x +infty vale também para x -infty.)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a reta y=mx+n é assíntota de f à direita (isto é, limxto+infty[f(x)-(mx+n)]=0) se, e somente se, valem simultaneamente os limites limxto+inftytfracf(x)x=m e limxto+infty[f(x)-mx]=n. Vamos usar propriedades básicas de limites e dividir a prova em duas direções.

Passo 2

Prova da direção “ Rightarrow": suponha que limxto+infty[f(x)-(mx+n)]=0. Então definimos varepsilon(x)=f(x)-(mx+n), de modo que varepsilon(x)to0. Podemos escrever
f(x)x=mx+n+varepsilon(x)x=m+ n x+varepsilon(x)x
Como n/xto0 e varepsilon(x)/xto0 quando xto+infty, concluímos que limxto+inftyf(x)/x=m. Além disso
f(x)-mx=n+varepsilon(x),
e como varepsilon(x)to0 segue limxto+infty[f(x)-mx]=n.

Passo 3

Prova da direção “ Leftarrow": agora suponha limxto+inftyf(x)/x=m e limxto+infty[f(x)-mx]=n. Observe que
f(x)-(mx+n)=[f(x)-mx]-n
Como pela hipótese f(x)-mxto n, então [f(x)-mx]-nto0. Logo limxto+infty[f(x)-(mx+n)]=0, exatamente isto é a definição de assíntota oblíqua à direita.

Resposta

Mostramos assim que y=mx+n é assíntota de f se, e somente se, limxto+inftyf(x)/x=m e limxto+infty[f(x)-mx]=n.

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