Calcule as derivadas das funções a seguir:
f(x)=2^(x^2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função $ f(x) = 2{x{2}} $. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, mais especificamente com derivadas de funções exponenciais. Para isso, vamos precisar entender como derivar funções que têm expoentes que também dependem da variável $ x $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos uma função exponencial da forma $ a^{u(x)} $, onde $ a $ é uma base constante e $ u(x) $ é uma função de $ x $, a derivada dessa função é dada por:
a^u(x)
Isso significa que para derivar $ 2{x{2}} $, vamos precisar aplicar essa regra.

Passo 3

Identificamos os componentes da nossa função:
  • $ a = 2 $ (a base da exponencial)
  • $ u(x) = x^{2} $ (o expoente que depende de $ x $)
Agora, vamos calcular a derivada de $ u(x) $ em relação a $ x $:
a = 2

Passo 4

Aplicando a regra da derivada que mencionamos no Passo 2, substituímos os valores que encontramos:
ddx 2^x^2 = ln(2) cdot 2^x^2 cdot 2x

Passo 5

Podemos simplificar a expressão multiplicando os termos constantes:
ddx 2^x^2 = 2 ln(2) cdot x cdot 2^x^2

Resposta

A derivada da função $ f(x) = 2{x{2}} $ é:
f(x) = 2^x^2

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