Calcule as derivadas das funções a seguir:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função $ f(x) = (2x + 1)^3 \sin(x) $. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de derivadas, especificamente usando a Regra do Produto e a Regra da Cadeia. Essas regras vão nos ajudar a encontrar a derivada de funções que são produtos de outras funções ou que têm funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da função que serão usadas na Regra do Produto. A função $ f(x) $ é o produto de duas funções:
- $ u(x) = (2x + 1)^3 $
- $ v(x) = \sin(x) $
A Regra do Produto diz que se $ f(x) = u(x) \cdot v(x) $, então a derivada $ f’(x) $ é:
Passo 3
Vamos calcular a derivada de $ u(x) = (2x + 1)^3 $ usando a Regra da Cadeia. A Regra da Cadeia é usada quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra função.
Aqui, $ u(x) $ é uma função composta onde:
- A função externa é $ g(z) = z^3 $
- A função interna é $ h(x) = 2x + 1 $
A Regra da Cadeia diz que:
Calculando cada parte:
- $ g’(z) = 3z^2 $
- $ h’(x) = 2 $
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de $ v(x) = \sin(x) $. A derivada de $ \sin(x) $ é $ \cos(x) $, ou seja:
Passo 5
Com as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $ calculadas, vamos aplicar a Regra do Produto:
Substituindo:
Resposta
A derivada da função $ f(x) = (2x + 1)^3 \sin(x) $ é: