Calcule as derivadas das funções a seguir.
.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a derivada da função
Informações dadas:
- A função está definida por
.
O objetivo é encontrar, a derivada de em relação a .
Passo 2
Primeiro vou simplificar a expressão antes de derivar, para ficar mais limpo na hora de aplicar regras. Uso a propriedade de potências que diz que dividir pela mesma base subtrai expoentes:
Agora a raiz quadrada é uma potência de expoente
. Então
Outra propriedade de potências é
. Aplicando aqui:
Passo 3
Posso simplificar ainda mais trocando a base
por
, já que
. Então
Isso fica bem simples:
. (É equivalente às formas anteriores, só é uma escrita mais direta para derivar.)
Passo 4
Agora vem a regra de derivação que vou usar. Para uma função da forma
, com
constante e
função diferenciável, vale
Explicando devagar:
-
pode ser escrita como . - A derivada de
é (regra da cadeia). - Substituindo
obtém-se a fórmula acima.
Nesta fórmula,é o logaritmo natural da base , é a própria função, e é a derivada do expoente.
Passo 5
No nosso caso temos
e
. Primeiro calcule
:
Aplicando a fórmula:
Passo 6
Para deixar a resposta em outra forma equivalente, posso escrever
. Assim uma forma alternativa é
Ambas as formas representam exatamente a mesma derivada; prefiro
porque é direta da simplificação que fizemos.