Calcule as derivadas das funções a seguir.
f(x)=\sqrt{\frac{4^{x}}{4}}.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a derivada da função
f(x)=\sqrt{\frac{4^{x}}{4}}.
Informações dadas:
  • A função está definida por \,f(x)=\sqrt{\dfrac{4^{x}}{4}}\,.
    O objetivo é encontrar f'(x), a derivada de f em relação a x.

Passo 2

Primeiro vou simplificar a expressão antes de derivar, para ficar mais limpo na hora de aplicar regras. Uso a propriedade de potências que diz que dividir pela mesma base subtrai expoentes:
\frac{4^{x}}{4}=4^{x-1}.
Agora a raiz quadrada é uma potência de expoente 1/2. Então
f(x)=\sqrt{4^{x-1}}=(4^{x-1})^{1/2}.
Outra propriedade de potências é (a^{m})^{n}=a^{mn}. Aplicando aqui:
f(x)=4^{(x-1)\cdot\frac{1}{2}}=4^{\frac{x-1}{2}}.

Passo 3

Posso simplificar ainda mais trocando a base 4 por 2, já que 4=2^{2}. Então
f(x)=(2^{2})^{\frac{x-1}{2}}=2^{2\cdot\frac{x-1}{2}}=2^{x-1}.
Isso fica bem simples: \,f(x)=2^{x-1}. (É equivalente às formas anteriores, só é uma escrita mais direta para derivar.)

Passo 4

Agora vem a regra de derivação que vou usar. Para uma função da forma a^{g(x)}, com a>0 constante e g(x) função diferenciável, vale
\frac{d}{dx}\bigl(a^{g(x)}\bigr)=\ln(a)\,a^{g(x)}\cdot g'(x).
Explicando devagar:
  • a^{g(x)} pode ser escrita como e^{g(x)\ln(a)}.
  • A derivada de e^{u(x)} é u'(x)e^{u(x)} (regra da cadeia).
  • Substituindo u(x)=g(x)\ln(a) obtém-se a fórmula acima.
    Nesta fórmula, \ln(a) é o logaritmo natural da base a, a^{g(x)} é a própria função, e g'(x) é a derivada do expoente.

Passo 5

No nosso caso temos a=2 e g(x)=x-1. Primeiro calcule g'(x):
g'(x)=\frac{d}{dx}(x-1)=1.
Aplicando a fórmula:
f'(x)=\ln(2)\,2^{x-1}\cdot 1=\ln(2)\,2^{x-1}.

Passo 6

Para deixar a resposta em outra forma equivalente, posso escrever 2^{x-1}=2^{-1}\cdot 2^{x}=\dfrac{1}{2}2^{x}. Assim uma forma alternativa é
f'(x)=\frac{\ln(2)}{2}\,2^{x}.
Ambas as formas representam exatamente a mesma derivada; prefiro \ln(2)\,2^{x-1} porque é direta da simplificação que fizemos.

Resposta

\ln(2)\,2^{x-1}

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