Derive.
f(x)=raizx sen x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada! A gente precisa encontrar a derivada da função $ f(x) = \sqrt{x} \cdot \sin x $. Para isso, vamos usar o Produto de Funções, que é uma técnica para derivar funções que são o produto de duas ou mais funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas:
  • $ u(x) = \sqrt{x} $
  • $ v(x) = \sin x $
A ideia é derivar cada uma dessas funções separadamente e depois aplicar a fórmula do Produto.

Passo 3

A fórmula do Produto de Funções é:
(f cdot g)' = f' cdot g + f cdot g'
Ou seja, a derivada do produto de duas funções é igual à derivada da primeira função vezes a segunda função mais a primeira função vezes a derivada da segunda função.

Passo 4

Vamos encontrar as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $:
  1. Derivada de $ u(x) = \sqrt{x} $:
u(x)
  1. Derivada de $ v(x) = \sin x $:
v(x)

Passo 5

Agora, aplicando a fórmula do Produto:
f'(x) = u'(x) cdot v(x) + u(x) cdot v'(x)
Substituindo as derivadas que encontramos:
f'(x) = ( 12raizx ) cdot sin x + raizx cdot cos x

Resposta

A derivada de $ f(x) = \sqrt{x} \cdot \sin x $ é:
f(x) = raizx cdot sin x

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