Derive.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de derivada! A gente precisa encontrar a derivada da função $ f(x) = \sqrt{x} \cdot \sin x $. Para isso, vamos usar o Produto de Funções, que é uma técnica para derivar funções que são o produto de duas ou mais funções.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as duas funções que estão sendo multiplicadas:
- $ u(x) = \sqrt{x} $
- $ v(x) = \sin x $
A ideia é derivar cada uma dessas funções separadamente e depois aplicar a fórmula do Produto.
Passo 3
A fórmula do Produto de Funções é:
Ou seja, a derivada do produto de duas funções é igual à derivada da primeira função vezes a segunda função mais a primeira função vezes a derivada da segunda função.
Passo 4
Vamos encontrar as derivadas de $ u(x) $ e $ v(x) $:
- Derivada de $ u(x) = \sqrt{x} $:
- Derivada de $ v(x) = \sin x $:
Passo 5
Agora, aplicando a fórmula do Produto:
Substituindo as derivadas que encontramos:
Resposta
A derivada de $ f(x) = \sqrt{x} \cdot \sin x $ é: