Calcule as derivadas das funções a seguir (Use uma tabela de derivadas das funções trigonométricas inversas):
j)
j)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função
. A função dada é
Informações relevantes fornecidas:
- A expressão explícita de
está acima. - Para que
esteja definida no conjunto dos reais é necessário ter , ou seja . A derivada que encontrarmos será válida onde a função está definida (em ).
Passo 2
Vamos identificar a estrutura da função e as regras que vamos usar (aqui explico as regras passo a passo, com exemplos simples para você entender bem).
Regra 1 — Regra do produto:
Se tivermos uma função , a derivada é dada por
Se tivermos uma função
Aqui
e
são duas funções quaisquer;
é a derivada de
e
a derivada de
.
Exemplo simples: se e
, então
Exemplo simples: se
Passo 3
Regra 2 — Derivada do logaritmo natural e Regra da cadeia:
Se , então, pela regra da cadeia,
Se
Aqui
é a função interna (argumento do
) e
é a sua derivada. A ideia da regra da cadeia é: para derivar uma composição
, derivamos a função externa
em relação à sua variável e multiplicamos pela derivada da função interna
. No caso de
temos
, por isso aparece
.
Exemplo: se , então
e
, logo
Exemplo: se
Passo 4
Agora identifique as subfunções em
:
- Tome
. - Tome
.
Calcule
:
Isto vem da regra de potência: se
então derivada é
.
Calcule
usando a derivada do logaritmo e a regra da cadeia. Seja
. Então
. Aplicando a fórmula da derivada do
:
Passo 5
Aplique a regra do produto:
. Substituindo os resultados:
Passo 6
Faça a simplificação algébrica da segunda parcela:
Portanto uma forma bonita e direta da derivada é
Opcional: podemos colocar em fator comum
ou em denominar comum. Por exemplo, fatorando
temos
Ou em um único quociente:
Todas essas expressões são equivalentes onde a função está definida (
).