Calcule as derivadas das funções a seguir (Use uma tabela de derivadas das funções trigonométricas inversas):
j) f(x)=x^{2} \ln \left(x^{3}+1\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função f. A função dada é
f(x)=x^{2}\ln\!\bigl(x^{3}+1\bigr).
Informações relevantes fornecidas:
  • A expressão explícita de f(x) está acima.
  • Para que \ln\bigl(x^{3}+1\bigr) esteja definida no conjunto dos reais é necessário ter x^{3}+1>0, ou seja x>-1. A derivada que encontrarmos será válida onde a função está definida (em x>-1).

Passo 2

Vamos identificar a estrutura da função e as regras que vamos usar (aqui explico as regras passo a passo, com exemplos simples para você entender bem).
Regra 1 — Regra do produto:
Se tivermos uma função h(x)=u(x)\,v(x), a derivada é dada por
h'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Aqui u(x) e v(x) são duas funções quaisquer; u'(x) é a derivada de u e v'(x) a derivada de v.
Exemplo simples: se u(x)=x^{2} e v(x)=\sin x, então
\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\sin x\bigr)=2x\sin x + x^{2}\cos x.

Passo 3

Regra 2 — Derivada do logaritmo natural e Regra da cadeia:
Se g(x)=\ln\bigl(s(x)\bigr), então, pela regra da cadeia,
g'(x)=\frac{s'(x)}{s(x)}.
Aqui s(x) é a função interna (argumento do \ln) e s'(x) é a sua derivada. A ideia da regra da cadeia é: para derivar uma composição G(x)=F\bigl(s(x)\bigr), derivamos a função externa F em relação à sua variável e multiplicamos pela derivada da função interna s'(x). No caso de F(t)=\ln t temos F'(t)=1/t, por isso aparece \frac{s'(x)}{s(x)}.
Exemplo: se g(x)=\ln(2x+1), então s(x)=2x+1 e s'(x)=2, logo
g'(x)=\frac{2}{2x+1}.

Passo 4

Agora identifique as subfunções em f(x)=x^{2}\ln\!\bigl(x^{3}+1\bigr):
  • Tome u(x)=x^{2}.
  • Tome v(x)=\ln\!\bigl(x^{3}+1\bigr).
Calcule u'(x):
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x^{2}\bigr)=2x.
Isto vem da regra de potência: se x^{n} então derivada é n x^{n-1}.
Calcule v'(x) usando a derivada do logaritmo e a regra da cadeia. Seja s(x)=x^{3}+1. Então s'(x)=3x^{2}. Aplicando a fórmula da derivada do \ln:
v'(x)=\frac{s'(x)}{s(x)}=\frac{3x^{2}}{x^{3}+1}.

Passo 5

Aplique a regra do produto: f'(x)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x). Substituindo os resultados:
f'(x)=\bigl(2x\bigr)\ln\!\bigl(x^{3}+1\bigr) + x^{2}\cdot\frac{3x^{2}}{x^{3}+1}.

Passo 6

Faça a simplificação algébrica da segunda parcela:
x^{2}\cdot\frac{3x^{2}}{x^{3}+1}=\frac{3x^{4}}{x^{3}+1}.
Portanto uma forma bonita e direta da derivada é
f'(x)=2x\ln\!\bigl(x^{3}+1\bigr) + \frac{3x^{4}}{x^{3}+1}.
Opcional: podemos colocar em fator comum x ou em denominar comum. Por exemplo, fatorando x temos
f'(x)=x\left(2\ln\!\bigl(x^{3}+1\bigr)+\frac{3x^{3}}{x^{3}+1}\right).
Ou em um único quociente:
f'(x)=\frac{2x(x^{3}+1)\ln\!\bigl(x^{3}+1\bigr)+3x^{4}}{x^{3}+1}.
Todas essas expressões são equivalentes onde a função está definida ( x>-1).

Resposta

f'(x)=2x\ln\!\bigl(x^{3}+1\bigr)+\frac{3x^{4}}{x^{3}+1}

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